Bài toán hình học trong các đề thi học sinh giỏi Toán 6

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 1 CHỦ ĐỀ: HÌNH HỌC

A. PHẦN NỘI DUNG

I. Số điểm, số đoạn thẳng, số đường thẳng

Dạng toán: Đếm số điểm, số đường thẳng, số đoạn thẳng

Bài 1: Cho 100 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua 2 điểm vẽ một đường thẳng. Số đường thẳng vẽ được là:

A. 200 . B. 4950 . C. 5680. D. 9900.

Trích đề HSG trường THCS Việt Tiến (Việt Yên) năm 2021 - 2022

Lời giải

Đáp án: B. 4950 .

Bài 2: Trên mặt phẳng cho n đường thẳng trong đó bất kỳ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau và không có ba đường thẳng nào cùng đi qua một điểm. Biết rằng tổng số giao điểm mà n đường thẳng đó cắt nhau tạo ra bằng 465 . Tìm n .

Trích đề HSG huyện Hậu Lộc năm 2022 - 2023

Lời giải

Có n đường thẳng trong đó bất kỳ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy, nên mỗi đường thẳng sẽ cắt 1 n − đường thẳng còn lại tạo ra 1 n − giao điểm phân biệt.

Do đó n đường thẳng thì có ( ) – 1 n n giao điểm .

Nhưng mỗi giao điểm đã được tính 2 lần nên thực tế chỉ có ( 1) 2 n n − giao điểm.

Theo bài ra ta có: ( 1) 465 2 n n − =

Suy ra: ( 1) 930 31.30 n n − = = do đó 31 n =

Vậy 31 n = .

Bài 3: Có 25 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng. Hỏi vẽ được tất cả bao nhiêu đường thẳng?

Nếu thay 25 điểm bời n điểm (n∈ và 2) n ≥ thì số đường thẳng là bao nhiêu?

Trích đề HSG huyện Hiệp Hoà năm 2021-2022

Lời giải

Lấy 1 điểm nối với 24 điểm còn lại ta được 24 đường thẳng.

Vì có 25 điểm nên có 25.24 đường thẳng nhưng mỗi đường thẳng được tính 2 lần.

Vậy số đường thẳng vẽ được là 25.24 300 2 = (đường thẳng)

Nếu thay 25 điểm bởi n điểm (n∈ và 2) n ≥ thì số đường thẳng là ( ) 1 2 n n − .

Bài 4: Cho 30 điểm trong đó có đúng 5 điểm thẳng hàng (ngoài ra không còn 3 điểm nào thẳng hàng). Qua 2 điểm ta vẽ được một đường thẳng. Hỏi có tất cả bao nhiêu đường thẳng.

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 2 Trích đề HSG trường THCS Nghĩa Đồng (Tân Kỳ) năm 2021 - 2022

Lời giải

Giả sử có 30 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng thì số đường thẳng là: 30.29 435 2 =

(đường thẳng).

Với 5 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng thì vẽ được 5.4 10 2 = (đường thẳng).

Nhưng 5 điểm này thẳng hàng nên chỉ vẽ được 1 đường thẳng.

Do đó số đường thẳng giảm đi là: 10 1 9 −= (đường thẳng).

Vậy vẽ được 435 9 426 − = (đường thẳng).

Bài 5: Cho trước n điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Nếu bớt đi 1 điểm thì số đường thẳng vẽ được qua các cặp điểm giảm đi 10 đường thẳng. Tìm n .

Trích đề HSG Trường THCS An Lễ năm 2021 - 2022

Lời giải

Từ 1 điểm bất kì nối với ( 1) n − điểm còn lại được n đường thẳng.

suy ra n điểm nối với ( 1) n − điểm còn lại được ( ) 1 n n − đường thẳng.

Mà mỗi đường thẳng được lặp lại 2 lần

Nên số đường thẳng tạo thành từ n điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng là: ( ) 1 2 n n −

đường thẳng.

Tương tự: Số đường thẳng tạo thành từ 1 n − điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng là: ( ) ( ) 1 . 2 2 n n − − đường thẳng.

Vì số đường thẳng giảm đi 10 đường nên ta có:

( ) ( ) ( ) 1 1 . 2 10 2 2 n n n n − − − − =

( ) ( )( ) 1 1 2 20 n n n n − − − − =

( ) 2 2 2 2 20 n n n n n − − − − + =

2 2 2 2 20 n n n n n − − + + − =

2 2 20 n − =

11 n =

Vậy 11 n = .