Bài toán bất đẳng thức trong các đề thi học sinh giỏi Toán 6

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 1 CHỦ ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC

A. PHẦN NỘI DUNG

Dạng 1: So sánh hai số, so sánh một biểu thức với một số

Bài 1: Cho 100 1 1 1 1 1 2 3 4 2 1 A = + + + +…+ −. Chứng tỏ rằng: 50 100 A < <

Trích đề HSG huyện Bá Thước năm 2021-2022 Lời giải

2 3 90 93 100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 2 5 7 2 9 15 2 2 1 2 1 A         = + + + + +…+ + + +…+ +…+ + +…+         + −        

2 2 2 2 90 99 99 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2       < + + + + + + +…+ + +…+            

99 2 99 1 1 1 1 2 4 2 1 1 1 2 2 2 = + ⋅ + ⋅ +…+ ⋅ = + +…+ (Có 100 số hạng 1)

100 = 100 A < .

2 3 4 90 90 100 100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 2 3 2 5 2 9 2 2 1 2 2 2 2 A         = + + + + +…+ + +…+ + + + +…+ −         + +        

100 1 1 1 1 1 2 2 2 2 > + + +…+ − (Có 100 số hạng 1 2 )

100 1 1 100 1 50 2 2   = ⋅ + − >    

(Vì 100 1 1 0 2 − > )

50 A > . Vậy 100 50 A > > .

Bài 2: Cho tổng : 1 1 1 ... 31 32 60 S = + + + . Chứng minh rằng : 3 4 5 5 S < < .

Trích đề HSG huyện Sông Lô năm 2015 - 2016 Lời giải

Ta có : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... ... ... 31 32 40 41 42 50 51 52 60 S       = + + + + + + + + + + +            

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... ... ... 30 30 30 40 40 40 50 50 50 S       < + + + + + + + + + + +            

hay 10 10 10 30 40 50 S < + +

từc là: 47 48 60 60 S < < Vậy 4 5 S < (1)

Mặt khác: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... ... ... 40 40 40 50 50 50 60 60 60 S       > + + + + + + + + + + +            

10 10 10 40 50 60 S > + + tức là : 37 36 60 60 S > >

Vậy 3 5 S > ( 2 ).

Từ (1) và ( 2 ) suy ra : 3 4 5 5 S < < đpcm.

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 2

Bài 3: Cho 2 3 4 12 . . 1 2 3 11 5 5 5 5 A … + + = + + … Chứng minh rằng 1 16 A < .

Trích đề HSG huyện Lập Thạch năm 2015 -2016 Lời giải

Ta có: 2 3 4 12 . . 1 2 3 11 5 5 5 5 A … + + = + + …

1 2 3 11 1 2 3 11 5 5 5 . 5 . 5 A = + + …… + +

1 2 3 11 2 3 4 12 5 1 2 3 11 1 2 3 11 5 5 . 5 5 5 5 5 5 . . A A + − − − = + + …… …… − − + −

2 11 12 . . 1 2 1 11 5 5 5 5 A 4 = + +…… + −

12 . 11 5 A B 4 = −

2 11 . 1 1 1 5 5 5 B = + +…… +

10 2 1 5 5 1 1 . 1 5 5 B = + + …… +

11 2 10 2 1 1 1 1 1 1 5 5 5 1 5 5 . 5 5 . B B − = … − − + + … + …… − −

11

11 11 1 5 1 1 5 5 B − − = 4 =

11

11 5 1 4.5 B − =

11 12 12

12 11 12 12 12 11 5 1 11 5 5 44 5 49 5 4.5 5 4.5 4.5 A B − 4 −− − = − − = = =

12 12

12 12 12 5 49 1 5 49 1 49 1 . . 1 4.4.5 16 5 16 5 16 A − −   = = − <   = 

Vậy 1 16 A < .

Bài 4: 1 2 3 4 1.4 4.10 10.19 19.31 M = + + + và 2 3 4 5 6 1.5 5.11 11.19 19.29 29.41 N = + + + +

So sánh M và N .

Trích đề HSG huyện Lục Nam năm 2021 - 2022

Lời giải

Ta có:

1 2 3 4 1.4 4.10 10.19 19.31 M = + + +

3 6 9 12 1 1 1 1 1 1 1 1 30 3 1 1 1.4 4.10 10.19 19.31 4 4 10 10 19 19 31 31 31 M ⇒ = + + + = − + − + − + − = − =

10 20 31 62 M ⇒ = =

2 3 4 5 6 1.5 5.11 11.19 19.29 29.41 N = + + + +

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 3 4 6 8 10 12 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1.5 5.11 11.19 19.29 29.41 5 5 11 11 19 19 29 29 41 N ⇒ = + + + + = − + − + − + − + −

1 40 2 1 41 41 N ⇒ = − =

20 41 N ⇒ =

Vì 20 20 62 41 < nên M < N

Vậy M < N

Bài 5: So sánh tổng 2 3 2007 1 2 3 2007 ..... ...... 2 2 2 2 2 n n S = + + + + + + với 2. ( ) * n∈

Trích đề HSG cấp huyện 2016-2017

Lời giải

Với mọi 2, n ≥ ta có: 1 1 2. 2 2 2 n n n n n n

+ + + = − Từ đó ta có:

2 2 3 2006 2007 2007 1 3 4 4 5 2008 2009 2009 ..... 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 S       = + − + − + + − = − <            

. Vậy 2 S <

Bài 6: Cho

2 3 2001 2002 2003 1 2 2 2 ..... 2 2 ; 2 A B = + + + + + + =

So sánh A và B

Trích đề HSG huyện ….. năm 2019 - 2020

Lời giải

Có 2 3 2002 2003 2 2 2 2 ..... 2 2 A = + + + + + 2003 2 2 1 A A ⇒ − = −

1 A B A B ⇒ = −⇒ <

Bài 7: Cho 2 3 4 71 72 1 2012 2012 2012 2012 2012 2012 P = + + + + + … + + và 73 2012 1 Q = −. So sánh P và Q .

Trích đề HSG huyện Nga Sơn năm 2021 - 2022 Lời giải Ta có : 2 3 4 71 72 73 2012. 2012 2012 2012 …