Bài toán suy luận logic, sơ đồ Ven trong các đề thi học sinh giỏi Toán 6

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 1 CHỦ ĐỀ: SUY LUẬN LOGIC, SƠ ĐỒ VEN

A. PHẦN NỘI DUNG

Dạng toán: Suy luận logic nhưng không dùng nguyên lý Dirichlet

Bài 1: Có 9 miếng bánh chưng cần rán vàng cả hai mặt. Thời gian rán mỗi mặt cần 3 phút. Nếu dùng

một chiếc chảo mỗi lần chỉ rán được nhiều nhất 6 miếng thì cần thời gian ít nhất là bao lâu để rán xong

9 miếng bánh chưng đó.

A. 9 phút B. 12 phút C. 18 phút D. 27 phút

Trích đề HSG Trường THCS Minh Đức năm 2021 - 2022

Lời giải

Đáp án: A. 9 phút

Bài 2: Trong một cuộc thi có 22 câu hỏi, mỗi câu trả lời đúng được 15 điểm, còn sai thì bị trừ 10 điểm. Một học sinh được tất cả 155 điểm. Hỏi bạn đó trả lời đúng mấy câu?

Trích đề HSG Liên trường năm 2021-2022 Lời giải Giả sử bạn học sinh đó trả lời đúng cả 22 câu. Như vậy tổng số điểm bạn đó đạt được là:

22 15 330 ⋅ = (điểm) Nhưng thực tế chỉ được 155 điểm nghĩa là còn thiếu: 330 – 155 175 = (điểm) Sở dĩ hụt đi 175 điểm vì trong số 22 câu có một số câu bạn ấy trả lời sai, giữa 1 câu trả lời sai và 1 câu trả lời đúng chênh lệch là: 15 10 25 + = (điểm) Do đó số câu trả lời sai là: 175 : 25 7 = (câu) Số câu trả lời đúng là: 22 7 15 − = (câu) Bài 3: Hãy viết số lớn nhất bằng cách dùng 3 chữ số 1;2;3với điều kiện mỗi chữ số dùng một lần và chỉ một lần

Trích đề HSG THCS Trần Phú Gia Lai năm 2018-2019

Lời giải Trường hợp không dùng lũy thừa, số lớn nhất có thể viết được là 321 *Trường hợp dùng lũy thừa: (Ta bỏ qua lũy thừa có cơ số và số mũ là 1 ) - Xét các lũy thừa mà số mũ có một chữ số: 2 2 3 3 13 ;31 ;12 ;21 So sánh 3 2 21 à 31 v ta có 3 2 21 31 > (vì 3 2 21 9261; 31 961) = = Xét các lũy thừa mà số mũ có hai chữ số: 13 31 12 21 2 ;2 ;3 ;3 So sánh 21 3 với 31 2 ta có ( ) 10 21 20 2 10 3 3.3 3. 3 3.9 = = =

( ) 10 31 30 3 10 2 2.2 2. 2 2.8 = = =

Từ đó suy ra 21 31 3 2 > . So sánh 21 3 với 3 21 ta có : ( ) 3 21 9 3 3 3 3 3 3 27 21 > = = >

Vậy số lớn nhất là : 21 3 Bài 4. Có hai chiếc bình, một chiếc loại 5 lít và một chiếc loại 7 lít. Người ta có thể đong để lấy 1lít,

2 lít, 4 lít, 6 lít dầu từ một thùng đựng bằng cách chỉ sử dụng hai chiếc bình trên. Em hãy nêu cách đong để lấy: a) 3 lít dầu b) 1 lít dầu.

Trích đề HSG THCS Quế Phú năm 2018-2019 Lời giải a) Để đong 3 lít ta thực hiện đong, thùng 5 lít trước, 7 lít sau:

( ) ( ) ( ) ( ) 5;0 0;5 5;5 3;7 → → →

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 2 Vậy ta có 3 lít ở thùng 5 lít b) Để đong 1 lít, ta thực hiện đong, thùng 5 lít trước, 7 lít sau:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5;0 0;5 5;5 3;7 0;3 5;3 1;7 → → → → → →

Vậy ta có 1 lít ở thùng 5 lít. Bài 5: Một hộp bi có 219 viên bi. Hai bạn chơi bốc bi ra khỏi hộp, mỗi lần chỉ được lấy từ 2 đến 7 viên bi. Hai bạn lần lượt thay nhau bốc, ai bốc được những viên bi cuối cùng thì người đó thắng cuộc. Chứng tỏ rằng có cách chơi để bạn bốc trước bao giờ cũng thắng?

Trích đề HSG THCS Quỳnh Thiện năm 2022 - 2023

Lời giải Có 2 7 9;219:9 24 + = = (dư 3) nên

Nếu tổng số bi bốc được của 2 người nhiều nhất là 9 thì vẫn còn dư sau khi người thứ 2 bốc lượt thứ 24, do đó người bốc trước sẽ là người bốc được những viên bi cuối cùng nếu người thứ nhất bốc như sau:

n lần đầu tiên, người thứ nhất bốc 3 viên bi. Tiếp theo người thứ 2 bốc k viên bi thì người thứ nhất lại bốc − 9 k viên bi. Cứ như vậy, số bi cuối cùng sẽ được người đầu tiên bốc nên người bốc trước luôn thắng.

Bài 6: Cho số 155*710*4*16 n = có 12 chữ số. Chứng minh rằng nếu thay các dấu “∗” bởi các chữ số khác nhau trong chữ số 1; 2; 3 một cách tùy ý thì số đó luôn chia hết cho 396.

Trích đề HSG huyện Cẩm Thủy năm 2022 - 2023

Lời giải Ta thấy, vị trí của các chữ số thay thế ba dấu sao trong số trên đều ở hàng chẵn và vì ba chữ số đó đôi một khác nhau, lấy từ tập hợp {1; 2; 3} nên tổng của chúng luôn bằng 6. Mặt khác: 396 = 4.9.11 Do (4; 9; 11) = 1, nên ta chứng minh: 4, 9, 11 n n n   

Thật vậy: +) 4 n (vì số tạo bởi 2 chữ số tận cùng của n là 16 chia hết cho 4)

+) 9 n (vì tổng các chữ số của n là: ( ) + + + + + + + + + + =  1 5 5 7 1 …