Đề chọn học sinh giỏi Toán 9 năm 2024 - 2025 phòng GDĐT Bình Long - Bình Phước

UBND THỊ XÃ BÌNH LONG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

(Đề thi gồm có 02 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THỊ XÃ NĂM HỌC 2024-2025 Môn: Toán – Lớp 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (5 điểm) Cho A= 3 1 7 : 1 1 3 4 3 1 x x x x x x x x x

   + + + + + −       − − − + +   

(với 0, 1, 9 x x x ≥ ≠ ≠).

1. Rút gọn biểu thức A.

2. Tính giá giá trị của biểu thức A khi 7 4 3 x = − .

3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 A

.

Câu 2. (5 điểm)

1. Giải phương trình và hệ phương trình:

2 2

3 2

) 2 3 2 2 4 3

) 2 14

6 12 7

a x x x x

b xy x y

x x x y

− + = − +

  

+ + =

+ + − = −

2. Một giáo viên đến nhà sách để mua một số sách và tập để làm phần thưởng cho học sinh. Nhà sách đã niêm yết giá một quyển sách là 30000 đồng và giá một quyển tập là 10000 đồng. Biết giáo viên muốn mua tất cả 30 quyển sách và tập. Khi ra quầy thu ngân để thanh toán tiền, nhà sách thông báo hôm nay được giảm giá 10% trên tổng số tiền, nên giáo viên chỉ phải trả 450000 đồng. Hỏi giáo viên đã mua bao nhiêu quyển sách và bao nhiêu quyển tập?

Câu 3. (5 điểm) Cho đường tròn (O), đường kính AB. Trên tia tiếp tuyến Ax với (O) lấy điểm C sao cho AC=AB. Đường thẳng BC cắt (O) tại D, M là điểm thay đổi trên đoạn AD. Gọi N, P lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AB, AC; H là chân đường vuông góc hạ từ N xuống PD. Chứng minh:

1. 5 điểm A, N, M, P, H cùng thuộc một đường tròn.

2. H, M, B thẳng hàng.

3. HN luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi.

Câu 4. (2 điểm)

1. Một bể cá dạng hình hộp chữ nhật có chiều dài 80cm, chiều rộng 60cm, đang chứa

240 000cm3 nước. Người ta bỏ vào bể 6 viên đá dạng hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy 12 cm, chiều cao 15 cm và một số viên đá dạng hình chóp tam giác đều có diện tích mặt đáy là 110cm2, chiều cao 18 cm. Tính số viên đá dạng hình chóp tam giác đều đã bỏ vào bể cá, biết sau khi bỏ các viên đá vào thì mực nước trong bể cao 52 cm.

2. Cho 1 hộp gồm các thẻ đánh số 1;2;3;4;5;6;7;8. Mỗi thẻ khác nhau đánh các số khác nhau. Lấy ngẫu nhiên 2 thẻ trong hộp. Tính xác suất của biến cố “Tích của 2 thẻ được lấy ra là một số chẵn”.

Câu 5. (3 điểm)

1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 2 2 2 ( 1)( ) 4 x x y x y + + = .

2. Chứng minh : 3 3 6 x y xy − (với ,x y Z ∈ ).

3. Cho , 1. x y > Chứng minh: ( ) ( )

3 3 2 2 ( ) 8 1 ( 1)

x y x y

x y

+ − + ≥ − −

.

========== HẾT ==========

• Thí sinh không được sử dụng tài liệu. • Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.

UBND THỊ XÃ BÌNH LONG

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 9

NĂM HỌC 2024 – 2025

CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM 1 0,5 0,5 0,5 0,5

( )

2 ) 7 4 3 2 3 2 3 b x x = − = − ⇒ = −

Thay 2 3 x = − vào A, ta được

2 3 1 2 3 3

3 3 1 3

3 2 3

A − + = − −

− = −−

= −

0,5 0,5 0,5 1 3 4 ) 1 1 1 x c A x x − = = − + +

Vì: 4 1 0 1 1 4 1 4 3 1 x x A x ≥ ⇒ + ≥⇒ ≤ ⇒ ≥− = − +

Dấu “ =” xảy ra 1 1 0( ) x x TM ⇔ + = ⇔ =

Vậy 1 min 3 A = −khi 0 x =

0,5 0,5 0,25 0,25

2 2 2 ) 2 3 2 2 4 3(1) a x x x x − + = − + Ta có: ( ) 2 2 2 4 3 2 1 1 1 x x x − + = − + ≥

⇒phương trình có nghĩa với mọi x thuộc R

0,25

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

3 1 7 ) : 1 1 3 4 3 1

3 3 1 1 7 1 : 1 1 3

9 1 7 . 1 1 3

1 . 1 1 3

1 3

x x x x a A x x x x x

x x x x x

x x x

x x x x x x

x x x x

x x

   + + + = + + −       − − − + +   

+ − − + − + + = + − −

−− + + + = + − −

− = + − −

+ = −