Đề thi Olympic Toán 8 năm 2023 - 2024 phòng GDĐT Thạch Thất - Hà Nội

UBND HUYỆN THẠCH THẤT PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI OLYMPIC CÁC MÔN VĂN HOÁ LỚP 8THCS HUYỆN THẠCH THẤT NĂM HỌC 2023-2024 ================

Đề thi môn: TOÁN. Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

(Đề thi gồm 02 trang)

Bài 1 (5 điểm). Cho biểu thức:

  −   = + + − +     − − + +   

2

2 x 2 1 10 x A : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 với x ≠ 2 và x ≠ -2.

a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên. c) Tìm các giá trị của x để |A| = A.

Bài 2 (3 điểm) Biểu đồ quạt tròn ở hình bên

biểu diễn cơ cấu thị trường xuất khẩu máy móc

và phụ tùng năm 2020 của Việt Nam (tính theo

tỉ số phần trăm).

a) Tính giá trị của x.

b) Xuất khẩu máy móc và phụ tùng năm 2020

của Việt Nam đến thị trường Hoa Kỳ gấp bao

nhiêu lần đến thị trường Nhật Bản (làm tròn đến

hàng đơn vị)?

Nguồn: Báo cáo xuất nhập khẩu Việt Nam

năm 2020- Bộ Công Thương)

Bài 3 (3 điểm). Một siêu thị điện máy bán một máy tính với giá 10,5 triệu đồng chưa kể thuế giá trị gia tăng (VAT). Chú Dũng mua chiếc máy tính đó cùng một thiết bị máy tính ở ngoài và phải trả tổng cộng 12,65 triệu đồng, trong đó đã tính cả 10% thuế VAT. Giá trị tiền thiết bị máy tính ở ngoài (không kể VAT) là bao nhiêu?

Bài 4 (1,5 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức − = +

2

2 x 9 B x 3

Bài 5 (6 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại ( ) A AB AC < , kẻ đường cao AH và đường

trung tuyến ( ) , AM H M BC ∈ . Gọi , D E lần lượt là hình chiếu của H trên , AB AC .

a. Chứng minh rằng: 2 . DE BH HC = . b. Chứng minh rằng: 2 . . AH AD DB AE EC = + . c. Chứng minh rằng: DE vuông góc với AM .

d. Giả sử diện tích tam giác ABC bằng 2 lần diện tích tứ giác ADHE . Chứng minh tam giác ABC vuông cân. Bài 6 (1,5 điểm). Tìm x, y, z biết 10x2 + y2 + 4z2 + 6x - 4y - 4xz = - 5.

----------------------------------------Hết--------------------------------------------

(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm).

Họ và tên thí sinh ....................................................................Số báo danh...............

UBND HUYỆN THẠCH THẤT PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC CÁC MÔN

VĂN HOÁ LỚP 8THCS NĂM HỌC 2023-2024

================

MÔN TOÁN Câu Đáp án Điểm

Bài 1 (5đ)

a) (2,75đ)

a) Điều kiện: x 2, x 2 ≠ ≠−

  −   = + + − + =     − − + +    − + + − + − − + −

2

2

2 2 2

x 2 1 10 x A : x 2 x 4 2 x x 2 x 2

x 2(x 2) (x 2) x 2 . x 4 x 4 10 x

0,25

1,5

− + + − + − = = − − + − − 2 2 2 x 2(x 2) (x 2) x 2 1 A . x 4 x 4 10 x x 2

Vậy 1 2 A x = − với x 2, x 2. ≠ ≠−

1

b) (1,25đ) b) A có giá trị nguyên suy ra 2- x = 1 hoặc 2- x = -1, do đó x = 1 hoặc x = 3 (thỏa mãn

điều kiện).

Với x = 1 hoặc x = 3 thì biểu thức A có giá trị nguyên. Vậy x = 1 hoặc x = 3

1

0,25

c) (1đ)

Ta có: nếu |A| = A thì A ≥ 0 và nếu A ≥ 0 thì |A| = A. 0,5

|A| = A khi và chỉ khi A ≥ 0 hay 1 0 2 x ≥ − , do đó x < 2 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy với x < 2 thì A ≥ 0.

0,5

Bài 2 (3đ)

a) (1,5đ)

a) Dựa vào số liệu ở biểu đồ quạt tròn ở hình vẽ, ta suy ra

x = 100 – (44,9 + 11,5 + 7,5 + 6,8 + 7,5 + 12,1) = 9,7.

Vậy giá trị của x là 9,7.

1,25

0,25

b) (1,5đ) b) Ta có tỉ số của 44,9 và 7,5 là 44,9 5,9866 7,5 ≈ . 1

Vậy xuất khẩu máy móc và phụ tùng năm 2020 của Việt Nam đến thị trường Hoa Kỳ

gấp 6 lần đến thị trường Nhật Bản (làm tròn đến hàng đơn vị). 0,5

Bài 3 (3đ)

Gọi x (triệu đồng) là giá tiền không kể thuế VAT của thiết bị máy tính (x > 0).

Số tiền (không kể thuế VAT) của máy tính và thiết bị máy tính là 10,5 + x (triệu đồng).

Số tiền phải trả thuế VAT là (10,5 + x) . 10% (triệu đồng).

1

Tổng số tiền chú Dũng phải trả là 12,65 triệu đồng, nên ta có phương trình:

10,5 + x + (10,5 + x) . 10% = 12,65.

0,75

Giải phương trình tìm được x = 1 (thoả mãn điều kiện).

Vậy giá tiền không kể thuế VAT của thiết bị máy tính mua ở ngoài là 1 triệu đồng.

1,25