Đề khảo sát HSG Toán 8 năm 2023 - 2024 phòng GDĐT Văn Lâm - Hưng Yên

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN VĂN LÂM

ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm có 01 trang)

ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC: 2023 – 2024

Môn: Toán – Lớp 8 Thời gian làm bài: 120 phút

Ngày thi: 04/4/2024 Bài 1. (4,0 điểm) Cho biểu thức:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 3 : ( ) . 2 ( )( ) 2 2 x y x y xy A x xy y xy x y x y x y x y x x     − − + = + + − +     + + − − + − +    

( x y ≠± ; ; 0 x y ≠ )

1) Rút gọn biểu thức A. 2) Với giá trị nào của x, y thì biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Bài 2. (4,0 điểm)

1) Phân tích đa thức ( )( ) ( )( ) ( )( ) P bc a d b c ac b d a c ab c d a b = + − − + − + + − thành nhân tử.

2) Cho các số nguyên , , a b c thoả mãn 3 3 3 ( ) ( ) ( ) 210 a b b c c a − + − + − = . Tính giá trị của

biểu thức A a b b c c a = − + − + − .

Bài 3. (3,0 điểm) 1) Tìm số tự nhiên n để B = n3 – n2 – 7n + 10 là số nguyên tố. 2) Giải phương trình: (x – 3)3 + (2x – 1)3 = (3x – 4)3 Bài 4. (7,0 điểm) 1) Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm trên cạnh BC . Qua A kẻ tia Ax vuông góc với

AE và cắt CD tại F . Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K . Đường thẳng qua E song song với AB cắt AI ở G . Chứng minh rằng:

a) AE AF = và tứ giác EGFK là hình thoi. b) 2 . AF FK FC = c) Cho hình vuông ABCD cố định có độ dài cạnh bằng a , chứng minh rằng khi E di động trên cạnh BC thì chu vi EKC ∆ không đổi. 2) Cho tam giác MNP có MN = 5cm, MP = 6cm, NP = 7cm. Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác, G là trọng tâm của tam giác MNP. Chứng minh rằng: IG//MP Bài 5. (2,0 điểm) 1) Tìm hàm số có đồ thị là đường thẳng (d) thỏa mãn: (d) đường trung trực của AB và A(0; -1); B(-4; 3)

2) Chứng minh rằng: Nếu xyz = 1 thì 1 1 1 1 1 1 1 x xy y yz z zx + + = + + + + + +

--------- Hết ---------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:………………………………………..Số báo danh:……………….

Đáp án và thang điểm Bài 1 (4,0 điểm). Cho biểu thức:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 3 :( ) . 2 ( )( ) 2 2 x y x y xy A x xy y xy x y x y x y x y x x     − − + = + + − +     + + − − + − +    

( x y ≠± ;

; 0 x y ≠ )

1) (2,0 điểm)

3) Rút gọn biểu thức A.

Có:

2 2 2 2 2 2 1 1 1 :( ) . 2 x y x xy y xy x y x y   − + +   + + −  

(Với x y ≠± ;

; 0 x y ≠ )

2 2 ( )( ) 2 1 :( ) . ( ) x y x y x y x y xy xy x y   − + + = +   + −  

2 2

2 2 2 1 2 . ( ) ( )( ) x y xy x y xy x y x y x y x y x y   − − + = + =   + + − − +  

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2 3 ( )( ) ( )( ) 2 2

2 2 3 ( )( ) ( )( ) 2 2

x y xy x y xy A x y x y x y x y x x

  − + − + = − +   − + − + − +   − + − + = − − − + − + − +

2 3 2 2 A x x − = − +

Vậy 2 3 2 2 A x x − = − + với x y ≠± ; x, y 0 ≠

2) (2,0 điểm)

2) Với giá trị nào của x, y thì biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Có 2 3 ( 1) 1 A x − = − +

Để A đạt giá trị nhỏ nhất thì 2 3 ( 1) 1 x − + đạt giá trị lớn nhất

2 3 ) ( 1) 1 x + − + đạt giá trị lớn nhất khi chỉ chỉ khi 2 ( 1) 1 x − + đạt

giá trị nhỏ nhất Mà 2 ( 1) 1 1 x − + ≥. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 1 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 3 3 1 −= − khi và chỉ khi x = 1;

y 0 ≠ ; y 1 ≠±

Bài 2 (4,0 điểm)

1) (2,0

1) Phân tích đa thức

( )( ) ( )( ) ( )( ) P bc a d b c ac b d a c ab c d a b = + − − + − + + − Điểm