Các dạng bài tập phương trình mặt phẳng Toán 12 CTST

Hình học 12 - Chương 5 – PT mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu - Bài tập theo CT mới 2025 Chân Trời Sáng Tạo

CHƯƠNG 5

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG, ĐƯỜNG THẲNG, MẶT CẦU

BÀI 1

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

1. Vectơ pháp tuyến và cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

a. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Cho mặt phẳng ( ) α . Vectơ n khác 0 

và có giá vuông góc với mặt phẳng ( ) α gọi là vectơ pháp

tuyến của mặt phẳng ( ) α .

Nhận xét:

• Nếu n là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) α thì kn( 0) k ≠ cũng là một vectơ pháp tuyến

của mặt phẳng ( ) α .

• Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó.

b. Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

Cho mặt phẳng ( ) α . Nếu hai vectơ a và b 

không cùng phương và giá của chúng song song hoặc

nằm trên mặt phẳng( ) α thì

 ,a b là cặp véctơ chỉ phương của mặt phẳng ( ) α .

Nhận xét: Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và cặp vectơ chỉ phương của nó.

Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng khi biết một cặp vectơ chỉ phương

Hình học 12 - Chương 5 – PT mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu - Bài tập theo CT mới 2025 Chân Trời Sáng Tạo Trong không gian Oxyz , nếu mặt phẳng ( ) α nhận hai vectơ 1 2 3 1 2 3 ( ; ; ), ( ; ; ) a a a a b b b b = =   làm cặp

vectơ chỉ phương thì ( ) α nhận 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 ( ; ; ) n a b a b a b a b a b a b = − − −  làm vectơ pháp tuyến.

Chú ý:

• Vectơ 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 ( ; ; ) n a b a b a b a b a b a b = − − −  được gọi là tích có hướng của hai vectơ 1 2 3 ( ; ; ) a a a a = 

và 1 2 3 ( ; ; ) b b b b = 

, kí hiệu là ,a b       .

• ( ) 2 3 3 1 1 2 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 2 3 3 1 1 2

, ; ; ; ; b b b

a a a a a a a b a b a b a b a b a b a b b b b

   = = − − −      

 

• a cùng phương với b 

, 0 a b   ⇔ =     

• Nếu , n a b   =      thì vectơ n vuông góc với cả hai vectơ a và b 

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

a. Khái niệm phương trình tổng quát của mặt phẳng

Trong không gian Oxyz , mỗi mặt phẳng đều có dạng phương trình: 0 Ax By Cz D + + + = với

2 2 2 0 A B C + + ≠ , được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.

Nhận xét:

• Nếu mặt phẳng ( ) α có phương trình 0 Ax By Cz D + + + = (với 2 2 2 0 A B C + + ≠ ) thì vectơ

( ; ; ) n A B C =  là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) α .

• Cho mặt phẳng ( ) α có phương trình 0 Ax By Cz D + + + = . Khi đó:

0 0 0 0 0 0 0 ( ; ; ) ( ) 0 N x y z Ax By Cz D α ∈ ⇔ + + + =

b. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng khi biết một số điều kiện

• Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm và biết vectơ pháp tuyến

Trong không gian Oxyz , phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm 0 0 0 0 ( ; ; ) M x y z và có

vectơ pháp tuyến ( ; ; ) n A B C =  là: 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 A x x B y y C z z − + − + − =

hay 0 Ax By Cz D + + + = với 0 0 0 D Ax By Cz = − − −

• Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm và biết cặp vectơ chỉ phương

Hình học 12 - Chương 5 – PT mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu - Bài tập theo CT mới 2025 Chân Trời Sáng Tạo Để lập phương trình tổng quát của mặt phẳng ( ) α đi qua điểm 0 0 0 0 ( ; ; ) M x y z và có cặp vectơ chỉ

phương

 ,a b , ta thực hiện như sau:

Bước 1: Tìm một vectơ pháp tuyến , n a b   =      .

Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng ( ) α đi qua điểm 0 0 0 0 ( ; ; ) M x y z và có vectơ pháp tuyến n.

• Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

Để lập phương trình tổng quát của mặt phẳng ( ) α đi qua ba điểm , , A B C không thẳng hàng, ta thực

hiện như sau:

Bước 1: Tìm cặp vectơ chỉ phương , AB AC 

.

Bước 2: Tìm một vectơ pháp tuyến , n AB AC   =     .

Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng ( ) α đi qua điểm A (hoặc điểm B hoặc điểm C ) và có

vectơ pháp tuyến n.

Nhận xét:

Mặt phẳng ( ) α không đi qua gốc tọa độ O và lần lượt cắt trục Ox tại ( ;0;0) A a , cắt trục Oy tại

(0; ;0) B b , cắt trục Oz tại (0;0; ) C c có phương trình là 1 x y z a b c + + = . với . . 0 a b c …