Các dạng bài tập phương trình mặt cầu Toán 12 CTST

Hình học 12 - Chương 5 – PT mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu - Bài tập theo CT mới 2025 Chân Trời Sáng Tạo

BÀI 3

PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

1. Định nghĩa mặt cầu

Cho điểm I và số dương R . Mặt cầu tâm I bán kính R là tập hợp tất cả các điểm trong không

gian cách điểm I một khoảng R .

Nhận xét: Cho mặt cầu tâm ( ; ) S I R

• Nếu IM R = thì M nằm trên mặt cầu.

• Nếu IM R < thì M nằm trong mặt cầu.

• Nếu IM R > thì M nằm ngoài mặt cầu.

2. Phương trình của mặt cầu

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , mặt cầu ( ) S tâm ( ) ; ; I a b c , bán kính R có phương trình

là:

2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) x a y b z c R − + − + − =

Nhận xét: Phương trình 2 2 2 2 2 2 0 x y z ax by cz d + + − − − + = với 2 2 2 0 a b c d + + − > là phương trình

của mặt cầu tâm ( ) ; ; I a b c và bán kính 2 2 2 R a b c d = + + − .

Hình học 12 - Chương 5 – PT mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu - Bài tập theo CT mới 2025 Chân Trời Sáng Tạo

CHỦ ĐỀ 1

XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ CƠ BẢN MẶT CẦU

LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU DẠNG CƠ BẢN

DẠNG 1

XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ CƠ BẢN MẶT CẦU

I R

• Phương trình mặt cầu ( ) S có dạng 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) x a y b z c R − + − + − = thì mặt cầu có tâm ( ) ; ; I a b c

và có bán kính R .

• Phương trình mặt cầu ( ) S có dạng 2 2 2 2 2 2 0 x y z ax by cz d + + − − − + = với 2 2 2 0 a b c d + + − >

thì để xác định tọa độ tâm ( ) ; ; I a b c và bán kính R ta thức hiện như sau:

+ Xác định tọa độ tâm I :

2 ... 2 ... 2 ...

a b c

− =  − =  − = 

+ Xác định bán kính: 2 2 2 R a b c d = + + − .

Chú ý:

• Có thể xác định tọa độ tâm ( ) ; ; I a b c và bán kính R của phương trình mặt cầu ( ) S có dạng

2 2 2 2 2 2 0 x y z ax by cz d + + − − − + = bằng cách nhóm nhân tử để đưa về dạng

2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) x a y b z c R − + − + − = .

• Để một phương trình là một phương trình mặt cầu, cần thỏa mãn hai điều kiện: Hệ số trước

2 2 2 , , x y z phải bằng 1 và 2 2 2 0 a b c d + + − >

• Nếu IM R = thì M nằm trên mặt cầu.

• Nếu IM R < thì M nằm trong mặt cầu.

• Nếu IM R > thì M nằm ngoài mặt cầu.

Hình học 12 - Chương 5 – PT mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu - Bài tập theo CT mới 2025 Chân Trời Sáng Tạo PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương

án.

Câu 1. Cho điểm M nằm ngoài mặt cầu ( ) ; . S O R Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. . OM R < B. . OM R = C. . OM R > D. . OM R ≤

Câu 2. Trong không gian , Oxyz cho mặt cầu ( ) ( ) ( ) 2 2 2 : 2 1 6. S x y z + − + + = Đường kính của ( ) S

bằng

A. 6. B. 12. C. 2 6. D. 3.

Câu 3. Mặt cầu ( ): S 2 2 2 3 3 3 6 12 2 0 + + − + + = x y z x y có bán kính bằng:

A. 7 3 . B. 2 7 3 . C. 21 3 . D. 13 3 .

Câu 4. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 : 2 1 3 4 S x y z − + + + − = . Tâm của ( ) S có tọa

độ là

A. ( ) 2;1; 3 − − . B. ( ) 4;2; 6 − − . C. ( ) 4; 2;6 − . D. ( ) 2; 1;3 − .

Câu 5. Trong không gian Oxyz , mặt cầu 2 2 2 ( ) :( 1) ( 2) 9 S x y z + + − + = có bán kính bằng

A. 3. B. 81. C. 9. D. 6 .

Câu 6. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( ) S có tâm (1; 4;0) I − và bán kính bằng 3 . Phương trình

của ( ) S là

A. 2 2 2 ( 1) ( 4) 9 x y z + + − + = . B. 2 2 2 ( 1) ( 4) 9 x y z − + + + = .

C. 2 2 2 ( 1) ( 4) 3 x y z − + + + = . D. 2 2 2 ( 1) ( 4) 3 x y z + + − + = .

Câu 7. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu 2 2 2 ( ) : ( 1) 16 S x y z + + − = . Bán kính của ( ) S là:

A. 32 B. 8 C. 4 D. 16

Câu 8. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu 2 2 2 ( ) :( 1) ( 2) ( 3) 9 S x y z + + + + − = . Tâm của ( ) S có tọa độ

là:

A. ( 2; 4;6) − − . B. (2;4; 6) − . C. ( 1; 2;3) −− . D. (1;2; 3) − .

Câu 9. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( ) 2 2 2 : 8 10 6 49 0 S x y z x y z + + − + − + = . Tính bán kính R

của mặt cầu ( ) S .

A. 1 R = . B. 7 R = . C. 151 R = . D. 99 R = .

Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu có phương trình

( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 3 4 x y z − + + + − = . Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu đó.

A. ( ) 1;2; 3 I − − ; 2 R = . B. ( ) 1;2; 3 I − − ; 4 R = . C. ( ) 1; 2;3 I − ; 2 R = . D. ( ) 1; 2;3 I − ; 4 R = …