Các dạng bài tập phương trình đường thẳng trong không gian Toán 12 KNTTVCS

Hình học 12 – Chương 5 – Phương pháp tọa độ trong không gian - Bài tập theo chương trình mới 2025 KNTTVCS

BÀI 2

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

1. Phương trình đường thẳng

a. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Cho đường thẳng ∆ và vectơ u khác 0 

. Vectơ u được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆

nếu giá của u song song hoặc trùng với ∆.

Nhận xét:

• Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm mà nó đi qua và một vectơ chỉ phương

của nó.

• Nếu u là một vectơ chỉ phương của đường thẳng thì . ( 0) k u k ≠  cũng là một vectơ chỉ phương của

đường thẳng đó .

b. Phương trình tham số của đường thẳng

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm

0 0 0 ( ; ; ) M x y z và nhận ( ; ; ) u a b c =  (với 2 2 2 0 a b c + + ≠ ) làm vectơ chỉ phương có dạng:

0

0

0

x x at

y y bt

z z ct

= +   = +  = + 

với t ∈ (t được gọi là tham số)

c. Phương trình chính tắc của đường thẳng

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ đi qua điểm 0 0 0 ( ; ; ) M x y z và có vectơ

chỉ phương ( ; ; ) u a b c =  . Nếu . . 0 a b c ≠ thì hệ phương trình: 0 0 0 x x y y z z a b c − − − = = được gọi là phương

trình chính tắc của đường thẳng ∆.

Hình học 12 – Chương 5 – Phương pháp tọa độ trong không gian - Bài tập theo chương trình mới 2025 KNTTVCS d. Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , đường thẳng ∆ đi qua hai điểm

( ; ; ), ( ; ; ) A A A B B B A x y z B x y z và nhận ( ; ; ) B A B A B A AB x x y y z z = − − − 

làm vectơ chỉ phương có:

• Phương trình tham số :

( )

( )

( )

A B A

A B A

A B A

x x x x t

y y y y t

z z z z t

= + −   = + −  = + − 

với t ∈

• Phương trình chính tắc: A A A

B A B A B A

x x y y z z x x y y z z − − − = = − − − (với , , B A B A B A x x y y z z ≠ ≠ ≠ )

2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc

a. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.

Trong không gian, hai vectơ được gọi là cùng phương khi giá của chúng cùng song song với một

đường thẳng.

Trong không gian, ba vectơ được gọi là đồng phẳng khi giá của chúng cùng song song với một mặt

phẳng.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba vecto 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ) a a a a b b b b c c c c = = =   

• Hai ,a b   cùng phương , 0 a b   ⇔ =      .

• Hai ,a b   không cùng phương , 0 a b   ⇔ ≠      .

• Ba vectơ , , a b c    đồng phẳng , . 0 a b c   ⇔ =      .

• Ba vectơ , , a b c    không đồng phẳng , . 0 a b c   ⇔ ≠      .

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1 2 , ∆∆ lần lượt đi qua các điểm

1 2 , M M và tương ứng có 1 1 1 1 2 2 2 2 ( ; ; ), ( ; ; ) u a b c u a b c = =   là hai vectơ chỉ phương. Khi đó, ta có:

Hình học 12 – Chương 5 – Phương pháp tọa độ trong không gian - Bài tập theo chương trình mới 2025 KNTTVCS

Chú ý: Để xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, ta cũng có thể dựa vào các vectơ chỉ phương và

phương trình của hai đường thẳng đó.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1 2 , ∆∆ tương ứng có

1 1 1 1 2 2 2 2 ( ; ; ), ( ; ; ) u a b c u a b c = =   là hai vectơ chỉ phương và có phương trình tham số:

( ) ( )

1 1 1 2 2 2

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2

: , :

x x a t x x a t

y y b t t y y b t t

z z c t z z c t

= + = +     ∆ = + ∈ ∆ = + ∈     = + = +  

 

Xét hệ phương trình hai ẩn 1 2 , t t : ( )

1 1 1 2 2 2

1 1 1 2 2 2

1 1 1 2 2 2

*

x a t x a t

y b t y b t

z c t z c t

+ = +   + = +   + = + 

Khi đó :

• 1 2 ∆≡∆⇔ 1u cùng phương với 2 u và hệ ( ) * vô nghiệm.

• 1 2 // ∆ ∆⇔ Hệ ( ) * có vô số nghiệm.

• 1 ∆ cắt 2 ∆⇔ Hệ ( ) * có nghiệm duy nhất.

• 1 ∆ và 2 ∆chéo nhau 1u ⇔ không cùng phương với 2 u và hệ ( ) * vô nghiệm.

b. Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1 2 , ∆∆ tương ứng có

1 1 1 1 2 2 2 2 ( ; ; ), ( ; ; ) u a b …