Toán ứng dụng thực tế vectơ và hệ trục toạ độ trong không gian

ST&BS: Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Toán ứng dụng thực tế

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 1 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay

ST&BS: Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Toán ứng dụng thực tế

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 2 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay

VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN A. TÓM TẮT KIẾN THỨC TRỌNG TÂM. I. KHÁI NIỆM VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN - Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. - Chú ý: + Cho đoạn thẳng AB trong không gian. Nếu ta chọn điểm đầu là A , điểm cuối là B thì ta có một vectơ, kí hiệu là AB



, đọc là “vectơ AB ”. + Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ thì vectơ còn được kí hiệu là , , , ,...  a b u v - Các khái niệm có liên quan đến vectơ trong không gian như: giá của vectơ, độ dài của vectơ, vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng, vectơ-không, hai vectơ bằng nhau, hai vectơ đối nhau, … được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng. - Chú ý: Cho điểm O và vectơ a



. Khi đó, tồn tại duy nhất điểm M trong không gian sao cho OM a   

. Để xác định điểm M , ta làm như sau: + Qua O kẻ đường thẳng d song song hoặc trùng với giá của vectơ a



. + Lấy điểm M trên đường thẳng d sao cho hai vectơ OM



, a



là cùng hướng và độ dài đoạn thẳng OM bằng độ dài vectơ a



.

II. CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN 1. Tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian - Trong không gian, cho hai vectơ a



, b



. Lấy một điểm A tùy ý, vẽ , AB a BC b     

. Vectơ AC



được gọi

là tổng của hai vectơ a



và b



, kí hiệu là AC a b     

. - Chú ý: + Phép lấy tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ. + Phép cộng vectơ trong không gian cũng có các tính chất như phép cộng vectơ trong mặt phẳng, chẳng hạn: Phép cộng vectơ trong không gian cũng có các tính chất giao hoán, kết hợp, cộng với vectơ-không. + Khi thực hiện phép cộng vectơ trong không gian, ta vẫn có thể áp dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành như đối với vectơ trong mặt phẳng. - Đối với vectơ trong không gian, ta cũng có các quy tắc sau: + Với ba điểm , , A B C trong không gian, ta có:      AB BC AC (Quy tắc ba điểm).

+ Nếu ABCD là hình bình hành thì AB AD AC     

(Quy tắc hình bình hành). + Nếu . ABCD A B C D  là hình hộp thì AB AD AA AC         

(Quy tắc hình hộp). - Trong không gian, cho hai vectơ , a b



. Hiệu của vectơ a



và vectơ b



là tổng của vectơ a



và vectơ đối của

vectơ b



, kí hiệu là a b   

. - Phép lấy hiệu của hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ. - Đối với vectơ trong không gian, ta có quy tắc sau: Với ba điểm , , O A B trong không gian, ta có:

OA OB BA     

(Quy tắc hiệu). 2. Tích của một số với một vectơ trong không gian - Cho số thực 0 k  và vectơ 0 a   

. Tích của số k với vectơ a



là một vectơ, kí hiệu là ka



, được xác định như sau: + Cùng hướng với vectơ a



nếu 0 k  , ngược hướng với vectơ 3 a



nếu 0 k  . + Có độ dài bằng . k a 

.

- Quy ước: 0 0, 0 0 a k      

. Do đó, 0 ka 

 

khi và chỉ khi 0 k  hoặc 0 a   

.