Các dạng bài tập nguyên hàm Toán 12 CTST

Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm. Tích phân - Bài tập theo chương trình mới 2025 Chân Trời Sáng Tạo

CHƯƠNG 4

NGUYÊN HÀM. TÍCH PHÂN

BÀI 1

NGUYÊN HÀM

1. Khái niệm nguyên hàm

Cho hàm số ( ) f x xác định trên K . Hàm số ( ) F x được gọi là nguyên hàm của hàm số ( ) f x nếu

'( ) ( ) F x f x = , với mọi x K ∈ .

Cho ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên K . Khi đố:

• Với mỗi hằng số C , hàm số ( ) F x C + cũng là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên K .

• Nếu ( ) G x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên K thì tồn tại hằng số C sao cho

( ) ( ) G x F x C = + với mọi x K ∈

Như vậy, mọi nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên K đều có dạng ( ) F x C + , với C là hằng số. Ta gọi

( ) , F x C C + ∈ là họ tất cả các nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên K , kí hiệu f ( x )dx ∫ và viết:

f ( x )dx F( x ) C = + ∫

Chú ý:

• Biểu thức ( ) f x dx được gọi là vi phân của nguyên hàm ( ) F x của ( ) f x , kí hiệu là ( ) dF x

Vậy, ( ) ( ) ' dF x F dx f x dx = =

• Mọi hàm số ( ) f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .

• Khi tìm nguyên hàm của một hàm số mà khoogn chỉ rõ tập K thì ta hiểu là tìm nguyên hàm của

hàm số đó trên tập xác định của nó.

• f '( x )dx f ( x ) C = + ∫

2. Các tính chất của nguyên hàm

• ( ) ( ) dx dx kf x k f x = ∫ ∫ , với k là hằng số khác 0

• ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx   + = +   ∫ ∫ ∫

• ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx   − = −   ∫ ∫ ∫

3. Nguyên hàm của một hàm số sơ cấp

Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm. Tích phân - Bài tập theo chương trình mới 2025 Chân Trời Sáng Tạo

CHỦ ĐỀ 1

Nguyên hàm của một hàm số sơ cấp

Nguyên hàm của hàm số lũy thừa

0dx C = ∫

C x dx + = ∫

( )

1 1 1 x x dx C

α α α α

+ = + ≠− + ∫

Nguyên hàm của hàm số 1 y x = ( ) 0 ln ≠ + = ∫ x C x x dx

Nguyên hàm của hàm số lượng giác

C x xdx + = ∫ sin cos

C x xdx + − = ∫ cos sin

C x dx x

+ = ∫ tan cos 1

2

C x dx x + − = ∫ cot sin 1

2

Nguyên hàm của hàm số mũ

C e dx e x x + = ∫

( )1 0 ln ≠ < + = ∫ a C a a dx a

x x

Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm. Tích phân - Bài tập theo chương trình mới 2025 Chân Trời Sáng Tạo

TÍNH NGUYÊN HÀM MỘT SỐ HÀM SỐ SƠ CẤP

DẠNG 1

NGUYÊN HÀM HÀM LŨY THỪA

1. Bảng nguyên hàm hàm số lũy thừa

Chú ý : dùng công thức sau làm trắc nghiệm cho nhanh

( ) ( )

1 1 1

n n ax b ax b dx C a n

+ + + = + + ∫

2. Lũy thừa với số mũ thực

Cho ,a b là những số thực dương, , α β là những số thực bất kì. Khi đó:

• a a a α β α β + =

• a a a

α α β β − =

• ( ) . a a β α α β =

• ( ) ab a b α α α =

• a a b b

α α

α  =    

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương

án.

Nguyên hàm hàm số lũy thừa

0dx C = ∫

C x dx + = ∫

( )

1 1 1 x x dx C

α α α α

+ = + ≠− + ∫

2 1 1 dx C x x = − + ∫

1 2 dx x C x = + ∫

( ) 0 ln ≠ + = ∫ x C x x dx

Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm. Tích phân - Bài tập theo chương trình mới 2025 Chân Trời Sáng Tạo Câu 1. Cho hàm số ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên K . Các mệnh đề sau, mệnh đề nào

sai.

A. ( ) ( ) f x dx F x C = + ∫ . B. ( ) ( ) ( ) f x dx f x ′ = ∫ .

C. ( ) ( ) ( ) f x dx f x ′ ′ = ∫ . D. ( ) ( ) ( ) f x dx F x ′ ′ = ∫ .

Câu 2. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số ( ) 2 6 f x x = + là

A. 2x C + . B.

2 6 x x C + + . C. 2 2x C + . D. 2 2 6 x x C + + .

Câu 3. 2x dx ∫ bằng

A. 2x C + . B.

3 1 3 x C + . C. 3x C + . D. 3 3x C +

Câu 4. Họ nguyên hàm của hàm số

2 ( ) 3 1 f x x = + là

A. 3x C + B.

3

3 x x C + + C. 6x C + D. 3x x C + +

Câu 5. Nguyên hàm của hàm số ( ) 3 f x x x = + là

A. 4 2 1 1 4 2 x x C + + B. 2 3 1 x C + + C. 3x x C + + D. 4 2 x x C + +

Câu 6. Nguyên hàm của hàm số ( ) 4 2 f x x x = + là

A. 5 3 1 1 5 3 x x C + + B. 4 2 x x C + + C. 5 3 x x C + + . D. 3 4 2 x x C + +

Câu 7. Hàm số nào trong các hàm số sau đây không là nguyên hàm của hàm số 2022 y x = ?

A.

2023 1 2023 x + . B.

2023

2023 x . C. 2021 2022 y x = . D.

2023 1 2023 x −.

Câu 8. Nguyên hàm của hàm số = ) (x f 3 2 1 2 2024 3 x x x − + − là

A. C x x x + + − 2 3 2 12 …