Các dạng bài tập tích phân Toán 12 CTST

Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm. Tích phân - Bài tập theo chương trình mới 2025 Chân Trời Sáng Tạo

BÀI 2

TÍCH PHÂN

1. Khái niệm tích phân

a. Diện tích hình thang cong

Nếu hàm số ( ) f x liên tục và không âm trên đoạn [ ] ;a b thì diện tích S của hình thang cong giới hạn

bởi đồ thị ( ) y f x = , trục hoành và hai đường thẳng , x a x b = = được tính bởi:

( ) ( ) S F b F a = −

trong đó ( ) F x là một nguyên hàm của ( ) f x trên đoạn [ ] ;a b .

b. Khái niệm tích phân

Cho hàm số ( ) f x liên tục trên đoạn [ ] ;a b . Nếu ( ) F x là nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên đoạn

[ ] ;a b thì hiệu số ( ) ( ) F b F a − được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số ( ) f x , kí hiệu ( )

b

a f x dx ∫

Chú ý:

• Hiệu số ( ) ( ) F b F a − còn được kí hiệu là ( )

b

a F x .

Vậy ( ) ( ) ( ) ( )

b b

a a f x dx F x F b F a = = − ∫

• Ta gọi

b

a∫là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, ( ) f x dx là biểu thức dưới dấu tích phân và

( ) f x là hàm số dưới dấu tích phân.

• Quy ước: ( ) ( ) ( ) ;

a b a

a a b f x dx f x dx f x dx = − ∫ ∫ ∫

• Tích phân của hàm sốf từ a đến b chỉ phụ thuộc vào f và các cận ,a b mà không phụ thuộc vào

biến x hay t , nghĩa là ( ) ( )

b b

a a f x dx f t dt = ∫ ∫ .

Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm. Tích phân - Bài tập theo chương trình mới 2025 Chân Trời Sáng Tạo • Ý nghĩa hình học của tích phân

Nếu hàm số ( ) f x liên tục và không âm trên đoạn [ ] ;a b thì ( )

b

a f x dx ∫ là diện tích S của hình thang

cong giới hạn bởi đồ thị ( ) y f x = , trục hoành và hai đường thẳng , x a x b = = .

( )

b

a S f x dx = ∫

Nhận xét:

• Nếu hàm số ( ) f x có đạo hàm ( ) ' f x và ( ) ' f x liên tục trên đoạn [ ] ;a b thì

( ) ( ) ( ) '

b

a f b f a f x dx − = ∫ .

• Cho hàm số ( ) f x liên tục trên đoạn [ ] ;a b . Khi đó ( ) 1 b

a f x dx b a −∫ được gọi là giá trị trung bình của

hàm số ( ) f x trên đoạn [ ] ;a b .

• Đạo hàm của quãng đường di chuyển của vật theo thời gian bằng tốc độ của chuyển động tại mọi

thời điểm: ( ) '( ) v t s t = . Do đó, nếu biết tốc độ ( ) v t tại mọi thời điểm [ ] ; t a b ∈ thì tính được quãng đường

di chuyển trong khoảng thời gian từ a đến b theo công thức: ( ) ( ) ( )

b

a s s b s a v t dt = − = ∫

2. Tính chất của tích phân

Cho hai hàm số ( ) ( ) , f x g x liên tục trên đoạn [ ] ;a b . Khi đó:

• Tính chất 1: ( ) ( )

b b

a a kf x dx k f x dx = ∫ ∫ , với k là hằng số.

• Tính chất 2: ( ) ( ) ( ) ( )

b b b

a a a f x g x dx f x dx g x dx   + = +   ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )

b b b

a a a f x g x dx f x dx g x dx   − = −   ∫ ∫ ∫

• Tính chất 3: ( ) ( ) ( )

b c b

a a c f x dx f x dx f x dx = + ∫ ∫ ∫ với ( ) ; c a b ∈ .

CHỦ ĐỀ 1

Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm. Tích phân - Bài tập theo chương trình mới 2025 Chân Trời Sáng Tạo

TÍNH TÍCH PHÂN CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ

DẠNG 1

TÍNH TÍCH PHÂN SỬ DỤNG BẢNG NGUYÊN HÀM SƠ CẤP

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương

án.

Nguyên hàm của một hàm số sơ cấp

Nguyên hàm của hàm số lũy thừa

0dx C = ∫

C x dx + = ∫

( )

1 1 1 x x dx C

α α α α

+ = + ≠− + ∫

Nguyên hàm của hàm số 1 y x = ( ) 0 ln ≠ + = ∫ x C x x dx

Nguyên hàm của hàm số lượng giác

C x xdx + = ∫ sin cos

C x xdx + − = ∫ cos sin

C x dx x + = ∫ tan cos 1

2

C x dx x + − = ∫ cot sin 1

2

Nguyên hàm của hàm số mũ

C e dx e x x + = ∫

( )1 0 ln ≠ < + = ∫ a C a a dx a

x x