Các dạng bài tập ứng dụng hình học của tích phân Toán 12 CTST

Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm. Tích phân - Bài tập theo chương trình mới 2025 Chân Trời Sáng Tạo

BÀI 3

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN

1. Diện tích hình thang cong

a. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số, trục hoành và hai đường thẳng x a = và x b =

Cho hàm số ( ) y f x = liên tục trên [ ] ;a b . Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

( ) y f x = , trục hoành Ox ( 0 y = ) và hai đường thẳng x a = và x b = được tính bởi công thức:

( )

b

a S f x dx = ∫

Chú ý: Giả sử hàm số ( ) y f x = liên tục trên [ ] ;a b . Nếu ( ) f x không đổi dấu trên [ ] ;a b thì:

= ∫ ∫ ( ) ( ) b b

a a f x dx f x dx

b. Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và hai đường thẳng x a = và x b =

Cho 2 hàm số ( ) y f x = và ( ) y g x = liên tục trên [ ] ;a b . Khi đó diện tích của hình phẳng giới hạn

bởi đồ thị hai hàm số ( ) y f x = và ( ) y g x = và hai đường thẳng x a = và x b = được tính bởi công

thức:

( ) ( )

b

a S f x g x dx = − ∫

2. Thể tích hình khối

Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm. Tích phân - Bài tập theo chương trình mới 2025 Chân Trời Sáng Tạo a. Thể tích của vật thể

Trong không gian, cho một vật thể nằm trong khoảng không gian giữa hai mặt phẳng ( ) P và ( ) Q

cùng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b . Mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm

( ) x a x b ≤ ≤ cắt vật thể theo mặt cắt có diện tích ( ) S x . Khi đó, nếu ( ) S x là hàm số liên tục trên [ ] ;a b

thì thể tích của vật thể được tính bởi công thức:

( )d

b

a V S x x = ∫

b. Thể tích khối tròn xoay

Cho hàm số ( ) y f x = liên tục, không âm trên [ ] ;a b . Hình phẳng ( ) H giới hạn bởi đồ thị hàm số

( ) y f x = , trục hoành Ox và hai đường thẳng x a = và x b = quay quanh trục Ox tạo thành một khối

tròn xoay có thể tích bằng:

[ ] 2 ( )

b

a V f x dx π = ∫

CHỦ ĐỀ 1

TÍNH DIỆN TÍCH GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐƯỜNG CONG

Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm. Tích phân - Bài tập theo chương trình mới 2025 Chân Trời Sáng Tạo

1. Dạng 1

( )

0 ( )

b

a

y f x

y S f x dx x a x b

 =  =  ⇒ = =  =  ∫

2. Dạng 2

( ) ( ) ( ) ( )

b

a

y f x

y g x S f x g x dx x a

x b

 =  =  ⇒ = −  =  = 

∫

Chú ý:

• Nếu ( ) f x không đổi dấu trên [ ] ;a b thì: = ∫ ∫ ( ) ( ) b b

a a f x dx f x dx

• Khi đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số nằm dưới trục hoành thì mang giá trị

âm, còn nằm trên trục hoành thì mang giá trị dương

DẠNG 1

TÍNH DIỆN TÍCH GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐƯỜNG CONG KHI BIẾT HÀM SỐ CÁC ĐƯỜNG

CONG

Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm. Tích phân - Bài tập theo chương trình mới 2025 Chân Trời Sáng Tạo

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương

án.

Câu 1. Cho hai hàm số ( ) f x và ( ) g x liên tục trên [ ] ; a b . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của

các hàm số ( ) y f x = , ( ) y g x = và các đường thẳng x a = , x b = bằng

A. [ ] ( ) ( ) d

b

a f x g x x − ∫ . B. ( ) ( ) d

b

a f x g x x + ∫ . C. ( ) ( ) d

b

a f x g x x − ∫ . D. [ ] ( ) ( ) d

b

a f x g x x − ∫ .

Câu 2. Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường 3x y = , 0 y = , 0 x = , 2 x = . Mệnh đề

nào dưới đây đúng?

A.

2

0 3x S dx = ∫ . B.

2 2

0 3 x S dx π = ∫ . C.

2

0 3x S dx π = ∫ . D.

2 2

0 3 x S dx = ∫ .

Câu 3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ( ) 2 2 1 y x = − −, trục hoành và hai đường thẳng

1, 2 x x = = bằng

A. 2 3 . B. 3 2 . C. 1 3 . D. 7 3 .

Câu 4. Tính diện tích S hình phẳng giới hạn bởi các đường

2 1, 1, 2 y x x x = + = − = và trục hoành.

A. 6 S = . B. 16 S = . C. 13 6 S = . D. 13 S = .

Câu 5. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 5 y x = + , 6 y x = , 0 x = , 1 x = . Tính S .

A. 4 3 B. 7 3 C. 8 3 D. 5 3

Câu 6. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số ln , y x = 1 y = và hai đường thẳng

1, x x e = = bằng

A. 2e . B. 2 e + . C. 2e. D. 2 e − .

Câu 7. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số

2 4 y x x = − , 2 y x = và hai đường thẳng

1, x x e = = bằng

A. 4 . B. 20 3 . C. 4 3 . D. 16 3

Câu 8. Tính …