Các dạng bài tập nguyên hàm Toán 12 KNTTVCS

Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm và tích phân - Bài tập theo chương trình mới 2025 KNTTVCS

CHƯƠNG 4

NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

BÀI 1

NGUYÊN HÀM

1. Khái niệm nguyên hàm

Cho hàm số ( ) f x xác định trên K . Hàm số ( ) F x được gọi là nguyên hàm của hàm số ( ) f x nếu

'( ) ( ) F x f x = , với mọi x K ∈ .

Cho ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên K . Khi đố:

• Với mỗi hằng số C , hàm số ( ) F x C + cũng là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên K .

• Nếu ( ) G x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên K thì tồn tại hằng số C sao cho

( ) ( ) G x F x C = + với mọi x K ∈

Như vậy, mọi nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên K đều có dạng ( ) F x C + , với C là hằng số. Ta gọi

( ) , F x C C + ∈ là họ tất cả các nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên K , kí hiệu f ( x )dx ∫ và viết:

f ( x )dx F( x ) C = + ∫

Chú ý:

• Biểu thức ( ) f x dx được gọi là vi phân của nguyên hàm ( ) F x của ( ) f x , kí hiệu là ( ) dF x

Vậy, ( ) ( ) ' dF x F dx f x dx = =

• Mọi hàm số ( ) f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .

• Khi tìm nguyên hàm của một hàm số mà khoogn chỉ rõ tập K thì ta hiểu là tìm nguyên hàm của

hàm số đó trên tập xác định của nó.

• f '( x )dx f ( x ) C = + ∫

2. Các tính chất của nguyên hàm

• ( ) ( ) dx dx kf x k f x = ∫ ∫ , với k là hằng số khác 0

• ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx   + = +   ∫ ∫ ∫

• ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx   − = −   ∫ ∫ ∫

3. Nguyên hàm của một hàm số sơ cấp

Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm và tích phân - Bài tập theo chương trình mới 2025 KNTTVCS

Nguyên hàm của một hàm số sơ cấp

Nguyên hàm của hàm số lũy thừa

0dx C = ∫

C x dx + = ∫

( )

1 1 1 x x dx C

α α α α

+ = + ≠− + ∫

Nguyên hàm của hàm số 1 y x = ( ) 0 ln ≠ + = ∫ x C x x dx

Nguyên hàm của hàm số lượng giác

C x xdx + = ∫ sin cos

C x xdx + − = ∫ cos sin

C x dx x

+ = ∫ tan cos 1

2

C x dx x + − = ∫ cot sin 1

2

Nguyên hàm của hàm số mũ

C e dx e x x + = ∫

( )1 0 ln ≠ < + = ∫ a C a a dx a

x x

Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm và tích phân - Bài tập theo chương trình mới 2025 KNTTVCS

CHỦ ĐỀ 1

TÍNH NGUYÊN HÀM MỘT SỐ HÀM SỐ SƠ CẤP

DẠNG 1

NGUYÊN HÀM HÀM LŨY THỪA

1. Bảng nguyên hàm hàm số lũy thừa

Chú ý : dùng công thức sau làm trắc nghiệm cho nhanh

( ) ( )

1 1 1

n n ax b ax b dx C a n

+ + + = + + ∫

2. Lũy thừa với số mũ thực

Cho ,a b là những số thực dương, , α β là những số thực bất kì. Khi đó:

• a a a α β α β + =

• a a a

α α β β − =

• ( ) . a a β α α β =

• ( ) ab a b α α α =

• a a b b

α α

α  =    

Nguyên hàm hàm số lũy thừa

0dx C = ∫

C x dx + = ∫

( )

1 1 1 x x dx C

α α α α

+ = + ≠− + ∫

2 1 1 dx C x x = − + ∫

1 2 dx x C x = + ∫

( ) 0 ln ≠ + = ∫ x C x x dx

Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm và tích phân - Bài tập theo chương trình mới 2025 KNTTVCS PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương

án.

Câu 1. Cho hàm số ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên K . Các mệnh đề sau, mệnh đề nào

sai.

A. ( ) ( ) f x dx F x C = + ∫ . B. ( ) ( ) ( ) f x dx f x ′ = ∫ .

C. ( ) ( ) ( ) f x dx f x ′ ′ = ∫ . D. ( ) ( ) ( ) f x dx F x ′ ′ = ∫ .

Câu 2. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số ( ) 2 6 f x x = + là

A. 2x C + . B.

2 6 x x C + + . C. 2 2x C + . D. 2 2 6 x x C + + .

Câu 3. 2x dx ∫ bằng

A. 2x C + . B.

3 1 3 x C + . C. 3x C + . D. 3 3x C +

Câu 4. Họ nguyên hàm của hàm số

2 ( ) 3 1 f x x = + là

A. 3x C + B.

3

3 x x C + + C. 6x C + D. 3x x C + +

Câu 5. Nguyên hàm của hàm số ( ) 3 f x x x = + là

A. 4 2 1 1 4 2 x x C + + B. 2 3 1 x C + + C. 3x x C + + D. 4 2 x x C + +

Câu 6. Nguyên hàm của hàm số ( ) 4 2 f x x x = + là

A. 5 3 1 1 5 3 x x C + + B. 4 2 x x C + + C. 5 3 x x C + + . D. 3 4 2 x x C + +

Câu 7. Hàm số nào trong các hàm số sau đây không là nguyên hàm của hàm số 2022 y x = ?

A.

2023 1 2023 x + . B.

2023

2023 x . C. 2021 2022 y x = . D.

2023 1 2023 x −.

Câu 8. Nguyên hàm của hàm số = ) (x f 3 2 1 2 2024 3 x x x − + − là

A. C x x x + + − 2 3 2 12 1 2 3 4 . B.

2 4 3 1 2 2024 9 3 …