Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng Toán 12 - Phan Nhật Linh

GV. Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716

1

Chương 4. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI

Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên K với K là một khoảng, một đoạn hay một nửa khoảng. Hàm

số F được gọi là một nguyên hàm của f trên K nếu:

( ) ( ), F x f x x K =  

Chú ý 1:

• Họ các nguyên hàm của f trên K , kí hiệu ( )d f x x  . Nếu F là một nguyên hàm của hàm số f

trên K thì mọi nguyên hàm của f đều có dạng ( ) F x C + , với C  .Vậy ( ) ( ) d f x x F x C = +  .

• Nếu hàm số ( ) G x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên K thì tồn tại một hằng số C nào đó

sao cho ( ) ( ) G x F x C = + với mọi x K  .

Chú ý 2:

• Để tìm họ các nguyên hàm (gọi tắt là tìm nguyên hàm) của hàm số ( ) f x trên K , ta chỉ cần tìm

một nguyên hàm ( ) F x của ( ) f x trên K . Khi đó: ( ) ( ) d , f x x F x C C  = + là hằng số.

• Nếu hàm số ( ) f x liên tục trên khoảng K thì ( ) f x có nguyên hàm trên khoảng đó.

• Biểu thức ( )d f x x gọi là vi phân của nguyên hàm ( ) F x được ký hiệu là ( ) dF x . Khi đó:

( ) ( ) ( ) d d d F x F x x f x x  = =

• Khi tìm nguyên hàm của một hàm số mà không chỉ rõ tập K , ta hiểu là tìm nguyên hàm của hàm số đó trên tập xác định của nó.

Nếu ( ) f x và ( ) g x là hai hàm số liên tục trên K thì ta có các tính chất sau:

( ) ( ) ( ) d f x x f x   =  ( ) ( ) d d kf x x k f x x  =   với 0 k 

( ) ( ) ( ) ( ) d d d f x g x x f x x g x x  + = +        ( ) ( ) ( ) ( ) d d d . f x g x x f x x g x x  − = −       

C

H

Ư

Ơ

N

G

4 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

NGUYÊN HÀM 01 BÀI

LÝ THUYẾT CẦN NHỚ A

1 Định nghĩa

2 Các tính chất cơ bản của nguyên hàm

GV. Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716

2

Chương 4. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI

Đạo hàm Nguyên hàm Nguyên hàm mở rộng (đọc thêm)

( ) 1 x = 1dx x C = + 

( ) ( ) 1 1 x x    + = +

1 d , 1 1 x x x C

   

+ = + − +  ( ) ( )

1 1 d , 1 1 ax b ax b x C a

   

+ + + =  + − + 

2 1 1 x x

  = −    

2 1 1 dx C x x = − +  2 d 1 1 ( ) x C ax b a ax b = −  + + + 

( ) .ln x x a a a = d ln

x x a a x C a = +  1 d ln

mx n mx n a a x C m a

+ + =  + 

( )

x x e e = d x x e x e C = +  1 d ax b ax b e x e C a

+ + = + 

( ) 1 lnx x = 1 d ln x x C x = +  1 1 d .ln x ax b C ax b a = + + + 

( ) sin cos x x = cos d sin x x x C = +  ( ) ( ) 1 cos d .sin ax b x ax b C a + = + + 

( ) cos sin x x = − sin d cos x x x C = − +  ( ) ( ) 1 sin d cos ax b x ax b C a + = − + + 

( ) 2 1 tan cos x x = 2 1 d tan cos x x C x = +  ( ) ( ) 2

1 1 d tan cos x ax b C ax b a = + + + 

( ) 2 1 cot sin x x = − 2 1 d cot sin x x C x = − +  ( ) ( ) 2

1 1 d cot sin x ax b C ax b a = − + + + 

3 Bảng công thức nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

GV. Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716

3

Chương 4. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI

Dạng 1: Tìm nguyên hàm của hàm số luỹ thừa Các công thức thường dùng:

1dx x C  = + 

1 d , 1 1 x x x C

   

+  = + − + 

1 d ln , 1 x x C x   = + −  2 1 1 dx C x x  = − + 

Chú ý các công thức biến đổi luỹ thừa:

1 n n x x

−  = . m n m n x x x +  =

m

m n n x x x

−  =

1 2;

m n m n x x x x  = =

Bài tập 1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số ( ) f x , biết:

a) ( )

2 f x x = b) ( )

4 3 f x x x− = +

c) ( )

2 3 f x x x = + d) ( ) 2 1 1 f x x x = −

e) ( )

2 3 2 f x x x x = + − f) ( ) 3

1 3 f x x

x = +

Bài tập 2: Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) f x , biết:

a) ( ) ( ) 3 2 1 3 f x x x = + b) ( ) ( )

2 3 2 f x x = −

c) ( )

4

2 2 3 x f x x

+ = d) ( ) 1 2 1 f x x = −

e) ( ) 2 4 3 f x x = − f) ( ) 6 2 3 1 x f x x

+ = −

Bài tập 3: Biết ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( )

2 1 2x f x x + = thỏa mãn ( ) 1 3 F − = . Tìm ( ) F x .

Bài tập 4: Biết ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) 1 2 1 f x x = + và ( ) 0 2 F = . Tính ( ) e F

Bài tập 5: Cho hàm số ( ) 2 2 1 khi 1 3 2 khi 1 x x f x x x −   =  −  

. Giả sử F là nguyên hàm của f trên thỏa mãn

( ) 0 2 F = . Tính ( ) ( ) 1 2 2 F F − + .

Bài tập 6: Cho hàm số …