Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng Toán 12 - Lê Bá Bảo

Chuyên đề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025

Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115

Chủ đề 1: NGUYÊN HÀM I. LÝ THUYẾT 1. Nguyên hàm của một hàm số

Cho hàm số  f x xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm

số  F x được gọi là một nguyên hàm của hàm số  f x trên K nếu   F x f x   với mọi x

thuộc . K Chú ý.

Trường hợp ; K a b     thì các đẳng thức   F a f a   và   F b f b   được hiểu là đạo hàm

bên phải tại điểm x a  và đạo hàm bên trái tại điểm x b  của hàm số , F x tức là:

   lim x a

F x F a

f a x a  



  và    lim . x b

F x F b

f b x b  



 

Nhận biết họ nguyên hàm của một hàm số

Giả sử  F x là một nguyên hàm của  f x trên . K Khi đó:

a) Với mỗi hằng số , C hàm số  F x C  cũng là một nguyên hàm của  f x trên ; K

b) Nếu hàm số  G x là một nguyên hàm của hàm số  f x trên K thì tồn tại một hằng số C

sao cho   G x F x C   với mọi . x K 

Như vậy, nếu  F x là một nguyên hàm của  f x trên K thì mọi nguyên hàm của  f x trên

K đều có dạng  , F x C C  là hằng số. Ta gọi    , F x C C   là họ các nguyên hàm của  f x

trên , K kí hiệu bởi: d f x x 

Chú ý.

a) Để tìm họ các nguyên hàm (gọi tắt là tìm nguyên hàm) của hàm số  f x trên , K ta chỉ cần

tìm một nguyên hàm  F x của  f x trên K và khi đó:   d f x x F x C    , với C là hằng

số. b) Người ta chứng minh được rằng, nếu hàm số  f x liên tục trên khoảng K thì  f x có

nguyên hàm trên khoảng đó. c) Biểu thức d f x x được gọi là vi phân của nguyên hàm , F x kí hiệu kaf  d . F x Vậy

   d d d . F x F x x f x x   

d) Khi đi tìm nguyên hàm của một hàm số mà không chỉ rõ tập , K ta hiểu là tìm nguyên hàm của hàm số đó trên tập xác định của nó. 2. Tính chất cơ bản của nguyên hàm

a) Cho  f x là hàm số liên tục trên , K k là hằng số khác 0. Giả sử  F x là một nguyên hàm

của hàm số  f x trên . K Lúc đó:   d d kf x x k f x x    ,   0 . k 

b) Cho  f x và  g x là hai hàm số liên tục trên . K Giả sử  F x là một nguyên hàm của hàm

số , f x  G x là một nguyên hàm của hàm số  g x trên . K

Chuyên đề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025

Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115

Lúc đó:    

   

d d d

d d d

f x g x x f x x g x x

              

     

3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

a) Nguyên hàm của hàm số lũy thừa Hàm số , , y x   được gọi là hàm số lũy thừa.

Tập xác định của hàm số lũy thừa y x  tùy thuộc vào giá trị của : 

+) Với  nguyên dương, tập xác định là ; +) Với  nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là  \ 0 ;

+) Với  không nguyên, tập xác định là   0; . 

Đạo hàm hàm số lũy thừa:  

1 x x      ,   0 x 

Nguyên hàm của hàm số lũy thừa:

  d

d

1

, 1 1 1 ln

x x x C

x x C x

   

           





b. Nguyên hàm của hàm số lượng giác

d d

d d

2

2

1 tan cos sin cos

1 sin cos cot sin

x x C x x x C x x x x C x x C x

                  

   

c. Nguyên hàm của hàm số mũ

 

d

d , 0 1 ln

x x

x x

e x e C

a a x C a a

   

    





BẢNG TỔNG KẾT NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ NGUYÊN HÀM THƯỜNG GẶP

d 0 x C   d 1 x x C   

  d

1

, 1 1 x x x C

   

      d 1 ln x x C x   

d x x e x e C      d , 0 1 ln

x x a a x C a a     

d cos sin x x x C    d sin cos x x x C   

d 2 1 tan cos

x x C x

   d 2 1 cot sin

x x C x

  

II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Cho hàm số  y f x  liên tục trên . Số nguyên hàm của hàm số  f x là

A. Vô số. B. 0. C. 2. D. 1. Câu 2. Biết  F x là một nguyên hàm của hàm số  f x trên . K Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.  , . F x f x x K   B.  , . F x f x x K   

C.  , . F x f x x K     D.  , . f x F x x K   