Các bài toán thực tế về hàm đặc trưng - Nguyễn Bá Hoàng

Biên soạn : Nguyễn Bá Hoàng_ĐT : 0936.407.353

1 | P a g e F a c e b o o k : H ội t o á n B ắc N a m

MỖI THÁNG MỘT CHỦ ĐỀ

Bài toán thực tế về hàm

đặc trưng

Thanh Hóa, tháng 05, năm 2017

Biên soạn : Nguyễn Bá Hoàng_ĐT : 0936.407.353

3 | P a g e F a c e b o o k : H ội t o á n B ắc N a m

Các bài toán thực tế về hàm đặc trưng A. Nội dung kiến thức.

Thông thường các bài toán thực tế liên quan đến hàm đặc trưng quy về bài toán yêu cầu bạn đọc đi tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số này trên một miền, hay cũng có thể đơn giản chỉ là tính giá trị của hàm số tại một điểm.

Về cách tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số trên một miền bằng cách khảo sát sự biến thiên của hàm số tác giả xin được không nhắc lại! Tác giả cung cấp thêm cho bạn đọc một số công thức sau :

 Cho hàm số

2 , y ax bx c    nếu 0 a  thì hàm số đã cho đạt giá trị nhỏ nhất trên khi

. 2

b x a 

Chứng minh

Xét hàm số

2 ( ) f x ax bx c    với 0 a  .

Ta có : '( ) 2 ; '( ) 0 2 0 2

b f x ax b f x ax b x a         .

Bảng biến thiên :

x  2

b

a  

'( ) f x  0 

( ) f x





2 4 4 b ac a  

Từ bảng biến thiên ta suy ra hàm số 2 ( ) f x ax bx c    với 0 a  sẽ đạt giá trị nhỏ nhất trên

khi 2

b x a  .

 Cho hàm số

2 , y ax bx c    nếu 0 a  thì hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất trên khi

. 2

b x a 

Chứng minh : Xin để lại cho bạn đọc !

 Với ,a b là các số thực dương thì ta có:

2 ( ) . 4 a b ab   Đẳng thức xảy ra khi . a b 

Chứng minh

Theo bất đẳng thức AM-GM ta có : 2 a b ab   .

Biên soạn : Nguyễn Bá Hoàng_ĐT : 0936.407.353

4 | P a g e F a c e b o o k : H ội t o á n B ắc N a m

Bình phương hai vế ta có :

2 2 ( ) 2 4 a b a b ab ab           

.

Đẳng thức xảy ra khi : a b  .

 Với , , a b c là các số thực dương thì ta có:

3 ( ) . 27 a b c abc    Đẳng thức xảy ra khi . a b c  

Chứng minh

Theo bất đẳng thức AM-GM ta có : 3

3 a b c abc   .

Lập phương hai vế ta có :

3 3 ( ) 3 27 a b c a b c abc abc             

.

Đẳng thức xảy ra khi : a b c  .

Biên soạn : Nguyễn Bá Hoàng_ĐT : 0936.407.353

5 | P a g e F a c e b o o k : H ội t o á n B ắc N a m

B. Ví dụ minh họa.

Ví dụ 1. Người ta tiêm một loại thuốc vào mạch máu ở cánh tay phải của một bệnh nhân. Sau thời gian

t giờ, nồng độ thuốc ở mạch máu của bệnh nhân đó được cho bởi công thức 2 0,28 ( ) 4

t C t t   với 0 24 t 

. Hỏi sau bao lâu kể từ khi tiêm thì nồng độ thuốc ở mạch máu của bệnh nhân là lớn nhất?

A. 12 giờ. B. 8 giờ. C. 6 giờ. D. 2 giờ.

Lời giải

Ta có :  

 

2

2 2 0,28 4 '( )

4

t C t

t

 



.

Suy ra :  

 

 

2

2 2 2 0,28 4 2 '( ) 0 0 0,28 4 0 2 4

t C t t t t

          

.

Nhận xét : Ta đang cần tìm giá trị lớn nhất của ( ) C t trên khoảng (0;24), mà '( ) 0 2 C t t   nên ta suy ra ( ) C t lớn nhất trên (0;24) khi 2 t  . Tức là sau 2 giờ kể từ khi tiêm

nồng độ thuốc ở mách máu là lớn nhất. Đáp án D.

Ví dụ 2. Dân số của một thị trấn sau t năm kể từ năm 1970 được ước tính bởi công thức 26 10 ( ) 5 t f t t

  

(nghìn người). Đạo hàm của hàm số ( ) f t biểu thị tốc độ tăng trưởng dân số của thị trấn (tính bằng

nghìn người/năm). Hỏi vào năm nào thì tốc độ tăng dân số là 0,048 nghìn người/năm?

A. Năm 2014. B. Năm 2016. C. Năm 2015. D. Năm 2017.

Lời giải

Ta có : 2 120 '( ) ( 5) f t t  

.

Để tốc độ tăng trưởng dân số là 0,048 nghìn người/năm thì : '( ) 0,048 f t  .

Suy ra : 2 2 120 0,048 ( 5) 2500 5 50 45 ( 5) t t t t         .

Như vậy sau 45 năm kể từ năm 1970 tức là năm 2015 thì tốc độ tăng trưởng dân số là 0,048

nghìn người/năm. Đáp án C. Ví dụ 3. Một công ty chuyên sản xuất đĩa CD với chi phí mỗi đĩa là 40 (nghìn đồng). Theo nghiên cứu nếu mỗi đĩa bán với giá x (nghìn đồng) thì số lượng đĩa bán được sẽ là ( ) 120 q x x   , * ( ) x . Hãy xác định giá bán của mỗi đĩa sao cho lợi nhuận mà công ty thu được là cao nhất?

A. 60 nghìn đồng. B. 70 nghìn đồng. C. 80 nghìn đồng. D. 90 nghìn đồng.