Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số - Lê Hải Trung

Biên soạn: Ths. Lê Hải Trung – 0984735736 Chuyên đề: Hàm số

Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia năm 2018 Trang 1

CHƯƠNG 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

Bài 1: Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số.

A. Lý thuyết

1. Định nghĩa Cho hàm số ( ) y f x xác định trên K , trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nữa khoảng.

a) Hàm số ( ) y f x đồng biến trên K nếu mọi     1 2 1 2 1 2 , , ( ) ( ) x x K x x f x f x .

b) Hàm số ( ) y f x nghịch biến trên K nếu mọi     1 2 1 2 1 2 , , ( ) ( ) x x K x x f x f x .

2. Định lí Cho hàm số ( ) y f x có đạo hàm trên K .

a) Nếu   ( ) 0 f x với mọi x thuộc K thì hàm số ( ) f x đồng biến trên K .

b) Nếu   ( ) 0 f x với mọi x thuộc K thì hàm số ( ) f x nghịch biến trên K .

c) Nếu   ( ) 0 f x với mọi x thuộc K thì hàm số ( ) f x không đổi trên K .

Chú ý: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn     ; a b và có đạo hàm  ' f x >0 trên khoảng

  ; a b thì hàm số f đồng biến trên đoạn     ; a b . Nếu hàm số f liên tục trên đoạn     ; a b

và có đạo hàm  ' f x < 0 trên khoảng   ; a b thì hàm số f nghịch biến trên đoạn     ; a b .

3. Định lí mở rộng: Cho hàm số ( ) y f x có đạo hàm trên K .

a) Nếu   ( ) 0 f x với mọi x thuộc K và   ( ) 0 f x xảy ra tại một số hữu hạn điểm của K

thì hàm số ( ) f x đồng biến trên K .

b) Nếu   ( ) 0 f x với mọi x thuộc K và   ( ) 0 f x xảy ra tại một số hữu hạn điểm của K

thì hàm số ( ) f x nghịch biến trên K .

4. Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Bước 1: Tìm tập xác định.

Bước 2: Tính đạo hàm ( ) f x . Tìm các điểm   1,2, ..., ix i n mà tại đó đạo hàm bằng 0

hoặc không xác định.

Bước 3: Sắp xếp các điểm ix theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Biên soạn: Ths. Lê Hải Trung – 0984735736 Chuyên đề: Hàm số

Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia năm 2018 Trang 2

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét tính đơn điệu của mỗi hàm số sau: a.    3 2 3 2 y x x b.     3 2 3 3 2 y x x x c.   3 2 y x x

Hướng dẫn giải

a.   3 2 y = x 3x 2 .

 Hàm số xác định với mọi  x .  Ta có:   2 3 6 y x x , cho        2 0 3 6 0 0, 2 y x x x x .

 Bảng biến thiên:

 Dựa vào bảng biến thiên suy ra:

 Hàm số đồng biến trên các khoảng   ;0 và    2; .

 Hàm số nghịch biến trên khoảng   0;2 .

Chú ý: Không được kết luận: “Hàm số đồng biến trên khoảng        ;0 2; ”

b.     3 2 y = x 3x 3x 2

 Hàm số xác định với mọi  x .  Ta có:    2 3 6 3 y x x , cho        2 0 3 6 3 0 1 y x x x (nghiệm kép)     0, y x  hàm số luôn nghịch biến trên tập xác định .

c.  3 y = x 2x .

 Hàm số xác định với mọi  x .    2 3 2 y x , cho 0 y    2 3 2 0 x (vô nghiệm)     0, y x  hàm số luôn đồng biến trên tập xác định .

Hướng dẫn giải

a.   4 2 y = x 2x 1

 Hàm số xác định với mọi  x .

       3 2 4 4 4 1 y x x x x , cho    0 0 y x hoặc 1 x hoặc 1 x .

 Bảng biến thiên:

x y

y

  0 2 0 0   



 (0) y

(2) y

        3 2 lim lim 3 2 x x y x x

        3 2 lim lim 3 2 x x y x x

Ví dụ 2: Xét tính đơn điệu của mỗi hàm số sau:

a.    4 2 2 1 y x x b.    4 2 2 y x x c.    4 2 1 2 1 4 y x x