Tóm tắt phương pháp giải các dạng toán về hàm số và đồ thị - Trương Thế Thiện

A) TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

I) KIẾN THỨC CƠ BẢN Giả sử hàm số y f x ( ) có tập xác định D.

x Hàm số f đồng biến trên D œ y x D 0, c t  và y 0 c chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D. x Hàm số f nghịch biến trên D œ y x D 0, c d  và y 0 c chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D.

x Nếu y ax bx c a 2 ' ( 0) z thì:

+ a y x R 0 ' 0, 0 ' ­ ! t  œ ® d ¯ + a y x R 0 ' 0, 0 ' ­ d  œ ® d ¯

x Định lí về dấu của tam thức bậc hai g x ax bx c a 2 ( ) ( 0) z :

+ Nếu ' < 0 thì g x ( ) luôn cùng dấu với a.

+ Nếu ' = 0 thì g x ( ) luôn cùng dấu với a (trừ b x a 2 )

+ Nếu ' > 0 thì g x ( ) có hai nghiệm x x 1 2 , và trong khoảng hai nghiệm thì g x ( ) khác dấu với

+ x x P S 1 2

0 0 0 0

' ­ t ° d œ ! ® ° ¯ + x x P S 1 2

0 0 0 0

' ­ t ° d œ ! ® ° ! ¯ + x x P 1 2 0 0 œ

x a b g x m x a b g x m ( ; ) ( ) , ( ; ) max ( ) d  œ d ; a b g x m x a b g x m ( ; ) ( ) , ( ; ) min ( ) t  œ t

II) CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN 1. Tìm điều kiện để hàm số y f x ( ) đơn điệu trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác

+ a y x R 0 ' 0, 0 ' ­ ! t  œ ® d ¯ + a y x R 0 ' 0, 0 ' ­ d  œ ® d ¯

2. Tìm điều kiện để hàm số y f x ax bx cx d 3 2 ( ) đơn điệu trên khoảng ( ; ) a b .

Ta có: y f x ax bx c 2 ( ) 3 2 c c .

a) Hàm số f đồng biến trên ( ; ) a b œ y x 0, ( ; ) c t  a b và y 0 c chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc ( ; ) a b .

Trường hợp 1: x Nếu bất phương trình f x h m g x ( ) 0 ( ) ( ) c t œ t (*)

a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g x ( ) cùng dấu với a.

x So sánh các nghiệm , x x 1 2 của tam thức bậc hai g x ( ) ax2 bx c với số 0:

định). x Hàm số f đồng biến trên D œ c 0, t y x v D à yc 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D. x Hàm số f nghịch biến trên D œ c 0, d y x v D à yc 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D.

x Nếu y a 2 x bx c ' (a z thì: 0)

Tóm tắt phương pháp giải các dạng toán về hàm số và đồ thị - Trương Thế Thiện

[www.toanmath.com]

thì f đồng biến trên ( ; ) a b œ h m g x ( ; ) ( ) max ( ) t a b

x Nếu bất phương trình f x h m g x ( ) 0 ( ) ( ) c t œ d (**)

thì f đồng biến trên ( ; ) a b œ h m g x ( ; ) ( ) min ( ) d a b

Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f x ( ) 0 c t không đưa được về dạng (*) thì đặt t x a . Khi

đó ta có: y g t at a b t a b c 2 2 ( ) 3 2(3 ) 3 2 D D D c .

– Hàm số f đồng biến trên khoảng a ( ; ) f œ g t t ( ) 0, 0 t œ

a a S P

0 0 0 0 0 0

' '

­ ! °° ­ ! ! › ® ® d ! ¯ ° t °¯

– Hàm số f đồng biến trên khoảng a ( ; ) f œ g t t ( ) 0, 0 t ! œ

a a S P

0 0 0 0 0 0

' '

­ ! °° ­ ! ! › ® ® d ¯ ° t °¯

x Nếu bất phương trình f x h m g x ( ) 0 ( ) ( ) c d œ t (*)

thì f nghịch biến trên ( ; ) a b œ h ( ; ) a b

x Nếu bất phương trình f x h m g x ( ) 0 ( ) ( ) c t œ d (**)

m g x ( ; ) ( ) min ( ) d a b

a a S P

0 0 0 0 0 0

' '

­ °° ­ ! › ® ® d ! ¯ ° t °¯

a a S P

0 0 0 0 0 0

' '

­ °° ­ ! › ® ® d ¯ ° t °¯

x f đơn điệu trên khoảng x x 1 2 ( ; ) œ y 0 c có 2 nghiệm phân biệt x x 1 2 , œ a 0 0 ' ­ z ® ! ¯ (1)

x Biến đổi x x d 1 2 thành x x x x d 2 2 1 2 1 2 ( ) 4 (2)

x Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m. x Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.

4. Tìm điều kiện để hàm số ax bx c y a d dx e

2 (2), ( , 0) z

b) Hàm số f nghịch biến trên ( ; a b ) œ c 0, t y x( ; a b ) và yc 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc ( ; a b ) .

Trường hợp 1:

m ( ) t max g(x)

thì f nghịch biến trên ( ; a b ) œ h

Trường hợp 2: Nếu bất phương trình cf x ( ) d 0 không đưa được về dạng (*) thì đặt t x a . Khi

đó ta có: cy g( )t 3at 2 (3a ) b t 3 D D a 2 2 2 b D c .

– Hàm số f nghịch biến trên khoảng f ( ;a ) œ g t( ) 0, d t 0 œ

– Hàm số f nghịch biến trên khoảng a ( ; f) œ g t( ) 0, d t ! 0 œ

3. Tìm điều kiện để hàm số y f ( ) x ax b 3 2 x cx d đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng k cho trước.

Tóm tắt phương pháp giải các dạng toán về hàm số và đồ thị - Trương Thế Thiện

[www.toanmath.com]