Hướng dẫn giải các dạng toán cực trị của hàm số - Đặng Việt Đông

ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phần Hàm số - Giải tích 12

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phần Hàm số - Giải tích 12

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

A – KIẾN THỨC CHUNG 1. Định nghĩa Giả sử hàm số f xác định trên tập K và 0  x K . Ta nói:

a) 0x là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng   ;a b chứa 0x sao cho   ;  a b K và

     0 0 , ; \   f x f x x a b x .

Khi đó   0 f x được gọi là giá trị cực tiểu của hàm sốf .

b) 0x là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng   ;a b chứa 0x sao cho   ;  a b K và

     0 0 , ; \   f x f x x a b x .

Khi đó   0 f x được gọi là giá trị cực đại của hàm sốf .

c) Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị.

Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị.

2. Định lí a. Định lí 1 Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm 0. x Khi đó, nếu hàm số f có đạo hàm tại điểm 0x thì   0 ' 0  f x .

b. Định lí 2 Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm 0x và có đạo hàm trên các khoảng   0 ;a x và

  0; x b . Khi đó

a) Nếu    0 ' 0, ;   f x x a x và    0 ' 0, ;   f x x x b thì hàm số f đạt cực đại tại điểm 0x .

b) Nếu    0 ' 0, ;   f x x a x và    0 ' 0, ;   f x x x b thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm 0x . Hay nói một cách khác. a) Nếu  ' f x đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua (theo chiều từ trái sang phải) thì hàm số đạt

cực đại tại .

b) Nếu đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua (theo chiều từ trái sang phải) thì hàm số đạt

cực tiểu tại . Ta có thể viết gọn định lí 2 qua hai bảng biếng thiên sau:

0 x

0 x

 'f x 0 x

0 x

ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phần Hàm số - Giải tích 12

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

c. Định lí 3 Giả sử hàm số có đạo hàm cấp một trên khoảng (a;b) chứa điểm , và có đạo hàm

cấp hai khác 0 tại . Khi đó

a) Nếu thì hàm số đạt cực đại tại điểm .

b) Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm .

B - BÀI TẬP

DẠNG 1: TÌM CỰC ĐẠI – CỰC TIỂU CỦA HÀM SỐ

Dấu hiệu 1:

+) nếu   0 ' 0  f x hoặc  ' f x không xác định tại 0x và nó đổi dấu từ dương sang âm khi qua

0x thì 0x là điểm cực đại của hàm sô.

+) nếu   0 ' 0  f x hoặc  ' f x không xác định tại 0x và nó đổi dấu từ âm sang dương khi qua

0x thì 0x là điểm cực tiểu của hàm sô. *) Quy tắc 1: +) tính 'y +) tìm các điểm tới hạn của hàm số. (tại đó ' 0  y hoặc 'y không xác định) +) lập bảng xét dấu 'y . dựa vào bảng xét dấu và kết luận. Dấu hiệu 2:

cho hàm số   y f x có đạo hàm đến cấp 2 tại 0x .

+)    

0

0

' 0

" 0

     

f x

f x

0x là điểm cđ +)    

0

0

' 0

" 0

     

f x

f x

0x là điểm ct

*) Quy tắc 2: +) tính   ' , " f x f x .

(cực đại) f(x0)

b a

+

x0

f'(x)

x

f(x)

f x0 ( )

f(x)

x

f'(x)

a x0

+

b

cực tiểu

f 0 x   0 ' 0 f x f

0 x

  0 '' 0 f x f 0 x

  0 '' 0 f x f 0 x