Tóm tắt lý thuyết và công thức hỗ trợ chuyên đề hàm số - Nguyễn Nhanh Tiến

fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 1

HÀM SỐ

TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC HỖTRỢ Tiến Nhanh biên soạn và sưu tầm Bản demo soạn bằng LATEX

1. Nhắc lại kiến thức

1.1. Quy tắc và công thức tính đạo hàm.

Cho u = u(x);v = (x); k là hằng số.

• Tổng, hiệu: (u±v)′ = u′ ±v′

• Tích: (u.v)′ = u′.v+u.v′

• Thương: u

v

′ = u′.v−u.v′

v2 ;(v ̸= 0) ⇒ k

v

′ = −k

v2

• Hàm hợp: Nếu y = y(u);u = u(x) ⇒y′ x = y′ u.u′ x.

• Bảng công thức đạo hàm.

Đạo hàm của hàm sơ cấp Đạo hàm của hàm hợp C′ = 0 (C là hằng số)

(xα)′ = α.xα−1 (uα)′ = α.uα−1.u′ 1

x

′ = − 1

x2

,(x ̸= 0)

1

u

′ = − u′

u2

,(u ̸= 0)

(√x)′ = 1 2√x (√u)′ = u′

2√u (sinx)′ = cosx (sinu)′ = u′.cosu (cosx)′ = −sinx (cosu)′ = −u′.sinu

(tanx)′ = 1 cos2x = tan2 x+1 (tanu)′ = u′

cos2u (cotx)′ = − 1 sin2x = − cot2 x+1

(cotu)′ = −u′

sin2u (ex)′ = ex (eu)′ = u′.eu

(ax)′ = ax.ln(a) (au)′ = u′.au.ln(a)

(ln|x|)′ = 1

x (ln|u|)′ = u′

u (loga |x|)′ = 1 x.ln(a) (loga |u|)′ = u′

u.ln(a)

fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 2

• Đạo hàm cấp 2: f ′′(x) = [f ′(x)]′.

Ý nghĩa: Gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm to là a(to) = f ′′(to)

• Công thức tính nhanh đạo hàm của hàm phân thức

ax+b

cx+d

′ = ad −bc

(cx+d)2; ax2 +bx+c

dx2 +ex+ f

′ = (ae−bd).x2 +2(af −dc).x+(bf −ce)

(dx2 +ex+ f)2

1.2. Dấu của tam thức bậc 2.

Cho tam thức bậc 2: y = ax2 +bx+c với a ̸= 0. Ta cần nhớcác kết quảsau:

1. f(x) > 0,∀x ∈R khi và chỉkhi: a > 0 ∆< 0

2. f(x) > 0,∀x ∈(α;+∞) khi và chỉkhi:

  

 

a > 0 " f(x) = 0 vô nghiệm f(x) = 0 có nghiệm x1 ≤x2 ≤α ⇔

( a > 0 ∆< 0 hoặc

    

   

a > 0 ∆≥0 af (α) ≥0 S/2 ≤α

3. f(x) > 0,∀x ∈(−∞;α) khi và chỉkhi:

  

 

a > 0 " f(x) = 0 vô nghiệm f(x) = 0 có nghiệm α ≤x1 ≤x2

⇔

( a > 0 ∆< 0 hoặc

    

   

a > 0 ∆≥0 af (α) ≥0 S/2 ≥α

Tương tựcho điều kiện f(x) < 0, f(x) ≥0,...

2. Tính đơn điệu của hàm số.

2.1. Định nghĩa

.

Hàm sốy = f(x) xác định trên (a;b)

• y = f(x) đồng biến (tăng) trên (a;b) ⇔∀x1 < x2 ∈(a;b) ⇒f(x1) < f(x2).

• y = f(x) nghịch biến (giảm) trên (a;b) ⇔∀x1 < x2 ∈(a;b) ⇒f(x1) > f(x2).

fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 3

2.2. Định lí

Hàm sốy = f(x) xác định trên (a;b)

• y = f(x) đồng biến trên (a;b) ⇔f ′(x) ≥0,∀x ∈(a;b). Dấu ” = ” xảy ra tại một sốhữu hạn điểm ∈(a;b).

• y = f(x) nghịch biến trên (a;b) ⇔f ′(x) ≤0,∀x ∈(a;b). Dấu ” = ” xảy ra tại một sốhữu hạn điểm ∈(a;b).

• Nếu y = f(x) đồng biến trên [a;b] thì Min [a;b] f(x) = f(a) và Max [a;b] f(x) = f(b).

• Nếu y = f(x) nghịch biến trên [a;b] thì Min [a;b] f(x) = f(b) và Max [a;b] f(x) = f(a).

2.3. Chú ý:

Dấu của đa thức bậc n: f(x) = anxn +...+a1x+a0

• Mỗi đa thức chỉđổi dấu tại nghiệm đơn và bội lẻ. Tại các nghiệm bội chẵn đa thức không đổi dấu.

• Dấu vùng cuối cùng (là vùng từnghiệm lớn nhất đến +∞) luôn cùng dấu với hệsốbậc cao nhất an.

2.4. Bài toán: Tìm điều kiện tham sốđểhàm sốđơn điệu.

∇. Tìm m đểhàm sốđồng biến ( tương tựnghịch biến) trên (a;b).

Ta có: hàm sốy = f(x) đồng biến trên (a;b) ⇔ f ′(x) ≥0,∀x ∈(a;b) Dấu ” = ” xảy ra tại hữu hạn điểm. Đối với hàm đa thức bậc n liên tục trên (a;b)

• Bỏđiều kiện dấu "="

• Giải điều kiện y′ ≥0

– Dùng tam thức bậc 2, (∗)

– Hoặc giải bất phương trình nghiệm

– Hoặc rút m vềmột vế, xét hàm số( áp dụng cho tất cảcác loại hàm sốmà có m đồng bậc)...