Các bài toán điển hình ôn thi THPTQG 2018 Chuyên đề hàm số

CÁC BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH 2018 Page 1 of 59

CÁC BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH ÔN THI THPTQG 2018

1 Hàm số

1.1 Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Bài toán 1.1 Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm sốy = f(x).

• Tìm tập xác định của hàm số.

• Tính đạo hàm và lập bảng xét dấu của nó.

• Căn cứvào bảng xét dấu đểkết luận. ■

Lưu ý 1.1

Cách tính nhanh đạo hàm của một sốhàm số

• Hàm sốphân thức y = ax+b cx+d thì cách nhớlà “anh dũng trừbắt cướp”

y′ = ad −bc

(cx + d)2

• Hàm sốphân thức y = a1x2+b1x+c1 a2x2+b2x+c2 thì cách nhớlà “anh bạn - ăn cháo hai lần - bỏcơm”

y′ =

a1 b1 a2 b2

x2 + 2 a1 c1 a2 c2

x + b1 c1 b2 c2

a2x2 + b2x + c2 2

Ví dụ1.1

Cho hàm sốy = x3 + 3x2 −2. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Hàm sốđồng biến trên khoảng (−∞; −2) và (0; +∞).

B. Hàm sốđồng biến trên khoảng (−∞; 0) và (2; +∞).

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; −2) và (0; +∞).

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−2; 1).

toicodongiuamotbiennguoi.wordpress.com

CÁC BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH 2018 Page 2 of 59

Cách 1. Tính nhanh đạo hàm: y′ = 3x2 + 6x = 3(x2 + 2x), và lập được bảng biến thiên (thực ra chỉcần lập bảng xét dấu của đạo hàm):

x −∞ −2 0 +∞

y′ + 0 − 0 +

y % & %

Từđó chọn đáp án A. ■

Cách 2. Chúng ta sửdụng tính năng tính đạo hàm của hàm sốbằng máy tính CASIO, sửdụng phím d/dx. ■

Riêng đối với ba loại hàm quen thuộc (bậc ba, bậc bốn trùng phương và phân thức bậc nhất) chúng ta có thểcó cách làm riêng. Chẳng hạn câu này, ta biết đây là hàm sốbậc ba với hệsốa = 1 > 0 nên đồthịcó dạng dấu ngã, tức là sẽđồng biến trên các khoảng (−∞; x1) và (x2; +∞), nghịch biến trên khoảng (x1; x2) với x1, x2 là hai nghiệm của phương trình y′ = 0. Do đó, có thểkhẳng định được ngay phương án A là phương án đúng. Sau đây là một sốbài tập điển hình.

Ví dụ1.2 ĐH năm 2017 Mã đề101

Hàm sốy = 2 x2+1 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (0; +∞). B. (−1; 1). C. (−∞; +∞). D. (−∞; 0).

Hướng dẫn. Tập xác định D = R. Đạo hàm

y′ = −4x x2 + 1 2

Do đó, y′ < 0 ⇔x > 0. Chọn phương án A. ■

Ví dụ1.3

Hàm sốnào dưới đây đồng biến trên khoảng (−∞; +∞)?

A. y = x+1

x+3. B. y = x3 + x. C. y = x−1

x−2. D. y = −x3 − 3x.

toicodongiuamotbiennguoi.wordpress.com

CÁC BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH 2018 Page 3 of 59

1.2 Giá trịlớn nhất, giá trịnhỏnhất của hàm số

Bài toán 1.2 Tìm giá trịlớn nhất, giá trịnhỏnhất của hàm sốy = f(x) trên tập K.

Chúng ta có hai phương pháp chủyếu:

• Lập bảng biến thiên của hàm sốtrên K. Nếu tập K là một đoạn [a; b] thì không cần lập bảng biến thiên mà chỉcần

+ Giải phương trình y′ = 0 và tìm ra các điểm xi mà tại đó y′ = 0 hoặc y′ không xác định.

+ Tính và so sánh các giá trịf(a), f(b), f(xi) đểtìm ra giá trịlớn nhất, giá trịnhỏnhất.

• Sửdụng bất đẳng thức quen thuộc hoặc điều kiện có nghiệm của phương trình.

Lưu ý 1.2

Lưu ý rằng, hàm sốy = f(x) muốn đạt được giá trịlớn nhất hoặc giá trị nhỏnhất bằng M thì ta phải tìm được ít nhất một sốx0 hữu hạn sao cho f(x0) = M.

Lưu ý 1.3

Điều kiện có nghiệm của một sốphương trình quen thuộc:

• Phương trình bậc hai điều kiện là ∆⩾0.

• Phương trình sin x = m, cos x = m điều kiện là |m| ⩽1.

• Phương trình a sin x + b cos x = c điều kiện là |c| √

a2+b2 ⩽1 hay c2 ⩽

a2 + b2.

Cần nhớhai cách đểtìm giá trịlớn nhất, giá trịnhỏnhất. Hai cách đó là gì? Đôi khi chúng ta hay đổi biến (đặt ẩn phụ) đểđưa vềkhảo sát một hàm sốđơn giản hơn.

Ví dụ1.4 ĐH năm 2017 Mã đề102

Cho hàm sốy = x+m

x+1 , với m là tham sốthực, thỏa mãn max [1;2] y + min [1;2] y = 16

3 .

Mệnh đềnào sau đây là đúng?

A. m ⩽0. B. m > 4. C. 0 < m ⩽2. D. 2 < m ⩽4.

toicodongiuamotbiennguoi.wordpress.com