Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến hàm số

2

PHẦN A - CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN XÉT TÍNH ĐƠN

ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

 y f x  PHẦN 1: Biết đặc điểm của hàm số

Dạng toán 1. Các bài toán về tính đơn điệu của hàm ẩn bậc 2 (dành cho khối 10) Câu 1.Cho parabol  P : 

2 y f x ax bx c    , 0 a  biết: P đi qua (4;3) M ,  P cắt Ox tại (3;0) N

và Q sao cho INQ  có diện tích bằng 1 đồng thời hoành độ điểm Q nhỏ hơn 3 . Khi đó hàm số   2 1 f x 

đồng biến trên khoảng nào sau đây

A. 1 ; 2       

. B.   0;2 . C.   5;7 . D.   ;2  .

Lời giải Chọn C Vì  P đi qua (4;3) M nên 3 16 4 a b c    (1)

Mặt khác  P cắt Ox tại (3;0) N suy ra 0 9 3 a b c    (2),  P cắt Ox tại Q nên   ;0 , 3 Q t t 

Theo định lý Viét ta có

3

3

b t a c t a

     

Ta có 1 . 2 INQ S IH NQ   với H là hình chiếu của ; 2 4 b I a a         

lên trục hoành

Do 4 IH a   , 3 NQ t  nên   1 1 . 3 1 2 4 INQ S t a 

    

      

2 2

3 3 2 2 8 3 3 3 3 2 4

t b c t t t t a a a a a

                 

(3)

Từ (1) và (2) ta có 7 3 3 7 a b b a      suy ra 3 7 1 4 3 3 a t t a a      

Thay vào (3) ta có     3 3 2 8 4 3 3 27 73 49 0 1 3

t t t t t t          

Suy ra 1 4 3 a b c    . Vậy  P cần tìm là 

2 4 3 y f x x x    .

Khi đó       2 2 2 1 2 1 4 2 1 3 4 12 8 f x x x x x         

Hàm số đồng biến trên khoảng 3 ; 2       

.

Câu 2.Cho hai hàm số bậc hai ( ), ( ) y f x y g x   thỏa mãn 2 ( ) 3 (2 ) 4 10 10 f x f x x x      ; (0) 9; (1) 10; ( 1) 4 g g g     . Biết rằng hai đồ thi hàm số ( ), ( ) y f x y g x   cắt nhau tại hai điểm phân biệt là , A B . Đường thẳng d vuông góc với AB tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 36. Hỏi điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng d ? A.   2;1 M  B.   1;9 N  C.   1;4 P D.   3;5 Q

Lời giải Chọn B Gọi hàm số 2 ( ) f x ax bx c    ta có 2 ( ) 3 (2 ) 4 10 10 f x f x x x     

2 2 2 3 (2 ) (2 ) 4 10 10 ax bx c a x b x c x x               

3

2 1 1

2 12 10 1 ( ) 1 12 6 4 10 1

a a

b a b f x x x a b c c

                       

.

Gọi hàm số 2 ( ) g x mx nx p    ta có (0) 9; (1) 10; ( 1) 4 g g g     ra hệ giải được

2 2; 3; 9 ( ) 2 3 9 m n p g x x x        . Khi đó tọa độ hai điểm A, B thỏa mãn hệ phương trình

2 2

2 2 1 2 2 2 2 3 11 2 3 9 2 3 9

y x x y x x y x y x x y x x

                         

Do đó đường thẳng AB: 1 11 : 3 3 3 y x d y x k      . Đường thẳng d cắt hai trục tọa độ tại

  0; ; ;0 3 k E k F      

. Diện tích tam giác OEF là 1 6 6 2 3 k k k   

Vậy phương trình đường thẳng d là: : 3 6, -3 - 6 d y x y x    . Chọn đáp án B Câu 3.Biết đồ thị hàm số bậc hai 2 ( 0) y ax bx c a     có điểm chung duy nhất với 2,5 y  và cắt đường thẳng 2 y  tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 1 và 5 . Tính P a b c   . A. 1. B. 0 . C. 1 . D. 2 . Lời giải Chọn D Gọi (P):   2 , 0 y ax bx c a     .

Ta có:

+)  P đi qua hai điểm    1;2 ; 5;2  nên ta có 2 4

25 5 2 2 5

a b c b a

a b c c a

              

+)  P có một điểm chung với đường thẳng 2,5 y  nên

 

2

2 2 4 1 2,5 2,5 16 4 2 5 10 36 18 0 . 4 4 2 b ac a a a a a a a a a              

Do đó: 1 2; . 2 b c  

Dạng toán 2. Dạng toán có thể tìm được biểu thức cụ thể của hàm số  y f x  trong bài toán không

chứa tham số. Câu 4.Cho hàm số  y f x  liên tục trên  thỏa mãn 1 0 f  và

 

6 4 2 3 2 , . f x x f x x x x x           Hàm số  

2 2 g x f x x   đồng biến trên khoảng

A.   1;3 . B. 1 0; 3      

. C. 1;1 3      

. D.   1;.

Lời giải Chọn C

Ta có       2 6 4 2 6 4 2 3 2 . 3 2 0 f x x f x x x x f x x f x x x x               Đặt  t f x  ta được phương trình 2 6 4 2 . 3 2 0 t x t x x x      Ta có    

2 2 6 4 2 6 4 2 3 4 3 2 4 12 9 2 3 x x x x x …