Phương pháp ghép trục trong bài toán hàm hợp

KÊNH PPT TIVI PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC TRONG BÀI TOÁN HÀM HỢP Tổng hợp: Thủy Đinh Ngọc.

I. NGUYÊN TẮC GHÉP TRỤC XÉT SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM HỢP    g f u x  .

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm    g f u x  , giả sử ta được tập xác định

      1 2 3 4 1 ; ; ... ; n n D a a a a a a      . Ở đây có thể là 1 ; n a a  .

Bước 2: Xét sự biến thiên của  u u x  và hàm ( ) y f x  (B2 có thể làm gộp trong bước 3 nếu nó đơn giản).

Bước 3: Lập bảng biến thiên tổng hợp xét sự tương quan giữa  ;x u u x      và   ; ( ) u g f u  .

Bảng này thường có 3 dòng dạng

Cụ thể các thành phần trong BBT như sau Dòng 1: Xác định các điểm kỳ dị của hàm  u u x  , sắp xếp các điểm này theo thứ tăng dần từ trái qua phải, giả

sử như sau: 1 2 1 .... n n a a a a      (xem chú ý 1).

Dòng 2: Điền các giá trị  i i u u a  với   1,..., i n 

Trên mỗi khoảng   1 ; , 1, 1 i i u u i n    cần bổ xung các điểm kỳ dị 1 2 ; ;...; k b b b của của hàm ( ) y f x  .

Trên mỗi khoảng   1 ; , 1, 1 i i u u i n    cần sắp xếp các điểm ; i k u b theo thứ tự chẳng hạn:

1 2 1 ... i k i u b b b u       hoặc 1 2 1 ... i k i u b b b u       (xem chú ý 2).

Dòng 3: Xét chiều biến thiên của hàm    g f u x  dựa vào BBT của hàm ( ) y f x  bằng cách hoán đổi:

u đóng vai trò của x ;  f u đóng vai trò của  f x .

Sau khi hoàn thiện BBT hàm hợp    g f u x  ta thấy được hình dạng đồ thị hàm này.

Bước 4: Dùng BBT hàm hợp    g f u x  giải quyết các yêu cầu đặt ra trong bài toán và kết luận.

Chú ý 1: - Các điểm kỳ dị của ( ) u u x  gồm: Điểm biên của tập xác định D , các điểm cực trị của  u u x  .

- Nếu xét hàm  u u x  thì trong dòng 1 các điểm kỳ dị còn có nghiệm của pt  0 u x  (là hoành độ giao

điểm của ( ) u u x  với trục Ox ). - Nếu xét hàm   u u x  thì trong dòng 1 các điểm kỳ dị còn có số 0 (là hoành độ giao điểm của ( ) u u x 

với trục Oy ). Chú ý 2: - Có thể dùng thêm các mũi tên để thể hiện chiều biến thiên của  u u x  .

- Điểm kỳ dị của ( ) y f x  gồm: Các điểm tại đó ( ) f x và ( ) f x  không xác định; các điểm cực trị hàm số ( ) y f x  . - Nếu xét hàm    g f u x  thì trong dòng 2 các điểm kỳ dị còn có nghiệm của pt  0 f x  (là hoành

độ giao điểm của ( ) u u x  với trục Ox ). - Nếu xét hàm     g f u x  thì trong dòng 2 các điểm kỳ dị còn có số 0 (là hoành độ giao điểm của

( ) y f x  với trục Oy ).

II. ĐỀ MINH HỌA CỦA BỘ GIÁO DỤC.

Câu 45-MH-BGD-L1: Cho hàm số  f x có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn   ;2    của phương trình   2 sin 3 0 f x  là

A. 4. B. 6 . C. 3. D. 8. Lời giải Chọn B Cách 1: Tự luận truyền thống

Đặt sin t x  . Do   ;2 x    nên   1;1 t  .

Khi đó ta có phương trình   3 2 3 0 2 f t f t     .

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình  3 2 f t  có 2 nghiệm   1;0 t a   và

  0;1 t b  .

Trường hợp 1:   1;0 t a  

Ứng với mỗi giá trị   1;0 t  thì phương trình có 4 nghiệm

1 2 3 4 0 2 . x x x x           

Trường hợp 2:   0;1 t b 

Ứng với mỗi giá trị   0;1 t  thì phương trình có 4 nghiệm 5 6 0 . x x    

Hiển nhiên cả 6 nghiệm trong 2 trường hợp trên đều khác nhau. Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm thuộc đoạn   ;2    Cách 2: Phương pháp ghép trục

Đặt   sin 1;1 t x   vì   ;2 x    ;

2

' 0 cos 0 2 3

2

x

t x x

x







            

;