Bài giảng tính đơn điệu của hàm số

TOANMATH.com Trang 1

CHUYÊN ĐỀ 1 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THN HÀM SỐ

BÀI 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Biết, hiểu công thức, quy tắc tính đạo hàm

+ Nắm vững tính đơn điệu của hàm số.

+ Thấy được mối liên hệ về sự biến thiên của hàm số thông qua đạo hàm của nó

+ Biết quy tắc xét dấu đã học ở lớp 10.

+ Nhận biết được mối liên hệ của hàm số khi biết bảng biến thiên của hàm số  y f x  ,

   y f u x  khi biết bảng biến thiên của hàm số  y f x  , đồ thị hàm số  y f x  hoặc đồ

thị hàm số  '  y f x .

 Kĩ năng

+ Biết áp dụng công thức, các quy tắc tính đạo hàm vào các hàm số cơ bản

+ Nhận diện được bảng biến thiên, đồ thị của hàm số đơn điệu trên một khoảng cụ thể.

+ Vẽ được bảng biến thiên, đồ thị các hàm số cơ bản, các hàm chứa trị tuyệt đối.

+ Vận dụng được tính chất của các hàm số trùng phương, hàm số bậc ba, các hàm hữu tỷ vào giải

nhanh toán trắc nghiệm.

+ Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số  y f x  ,    y f u x  ,     y f u x h x  

khi biết bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số  y f x  (  y f x   ).

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Định nghĩa

Cho hàm số f xác định trên khoảng (đoạn hoặc

nửa khoảng) K .

Hàm số f gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu

    1 2 1 2 x x f x f x     .

Hàm số f gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu

Ví dụ 1: Cho hàm số  y f x  có đồ thị như hình

vẽ dưới đây.

Dựa vào đồ thị ta thấy

Hàm số đồng biến trên khoảng   1;0  .

Hàm số nghịch biến trên khoảng   0;1 .

Ví dụ 2: Cho hàm số  y f x  . Ta có bảng xét

TOANMATH.com Trang 2

    1 2 1 2 x x f x f x    

Định lí thuận

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K .

Nếu  0, f x x K    thì hàm số đồng biến trên

khoảng K .

Nếu  0, f x x K    thì hàm số nghịch biến trên

khoảng K .

Nếu  0, f x x K    thì hàm số không đổi trên

khoảng K .

Định lí đảo

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K .

Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng K thì

 0, f x x K    .

Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng K thì

 0, f x x K    .

Lưu ý:

- Hàm số  f x đồng biến trên K thì đồ thị hàm số

là đường đi lên từ trái sang phải, biểu diễn trong

bảng biến thiên là dấu mũi tên hướng lên từ trái

sang phải.

- Hàm số  f x nghịch biến trên K thì đồ thị hàm

số là đường đi xuống từ trái sang phải, biểu diễn

trong bảng biến thiên là dấu mũi tên hướng xuống

từ trái sang phải.

Xét dấu tam thức bậc hai  2 g x ax bx c   

dấu như sau:

x  1 3 1 

y  0  0 

Ta thấy

Hàm số đồng biến trên các khoảng

  1 ; ; 1; 3        

Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1 3      

Ví dụ 3: Cho hàm số 

2 2 5 6 g x x x   .

Hàm số có   2 2 0 5 4.2.6 23 0 a        

 0, g x x   .

Chú ý: Định lí thuận dạng “mở rộng”:

 0 f x   x K  và dấu “=” tại hữu hạn điểm

trên K thì hàm số nghịch biến trên K .

TOANMATH.com Trang 3

  0 a 

  0 0, 0 a g x x      ;

  0 0, 0 a g x x      ;

  0 0, 0 a g x x      ;

  0 0, 0 a g x x      .

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Cho hàm số f xác định trên khoảng (đoạn hoặc nửa khoảng) K .

Hàm số nghịch biến

Định lí thuận

- Nếu  0, f x x K    thì hàm số nghịch biến

trên khoảng K .

Định lí đảo

- Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng K thì

 0, f x x K    .

Định lí thuận “mở rộng”

 0, f x x K    và dấu bằng tại hữu hạn điểm

trên K thì hàm số đồng biến trên K .

Hàm số đồng biến

Định lí thuận

- Nếu  0, f x x K    thì hàm số đồng biến

trên khoảng K .

Định lí đảo

- Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng K thì

 0, f x x K    .

Định lí thuận “mở rộng”

 0, f x x K    và dấu bằng tại hữu hạn điểm

trên K thì hàm số nghịch biến trên K .

Đồ thị

- Đồ thị hàm số là đường đi xuống từ trái sang phải

Đồ thị

- Đồ thị hàm số là đường đi lên từ trái sang phải

Định nghĩa

Hàm số f được gọi là nghịch biến trên K nếu

Định nghĩa

Hàm số f được gọi là đồng biến trên K …