Chuyên đề tính đơn điệu của hàm số - Nguyễn Mạnh Cường

Liên hệ: 0967453602 LỚP TOÁN THẦY CƯỜNG

Chuyên đề1: HÀM SỐ

BÀI 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU

Phần I Kiến thức cần nhớ

Tính đơn điệu của hàm sốlà cách gọi chung của tính đồng biến hoặc nghịch biến.

1 Định nghĩa

Cho hàm sốy = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x1, x2 ∈(a; b).

• Nếu x1 < x2 sao cho f(x1) < f(x2) thì hàm sốf(x) đồng biến trên khoảng (a; b).

• Nếu x1 < x2 sao cho f(x1) > f(x2) thì hàm sốf(x) nghịch biến trên khoảng (a; b).

2 Định lý 1

Cho hàm sốy = f(x) có đạo hàm f ′(x) trên khoảng (a; b).

• Nếu f ′(x) > 0 với mọi x ∈(a; b) thì hàm sốf(x) đồng biến trên khoảng (a; b).

• Nếu f ′(x) < 0 với mọi x ∈(a; b) thì hàm sốf(x) nghịch biến trên khoảng (a; b).

3 Định lý 2

Cho hàm sốy = f(x) có đạo hàm f ′(x) trên khoảng (a; b).

• Nếu f ′(x) ≥0 với mọi x ∈(a; b) và f ′(x) = 0 chỉtại một sốhữu hạn điểm thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a; b).

• Nếu f ′(x) ≤0 với mọi x ∈(a; b) và f ′(x) = 0 chỉtại một sốhữu hạn điểm thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a; b).

4 Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

1. Tìm tập xác định.

2. Tính đạo hàm f ′(x). Tìm các điểm xi(i = 1, 2, ...) mà tại đó đạo hàm bằng 0 và không xác định.

3. Sắp xếp các điểm xi theo thứtựtăng dần và lập bảng biến thiên.

4. Kết luận các khoảng đồng biến (f ′(x) mang dấu ” + ”) và các khoảng nghịch biến (f ′(x) mang dấu ” −”).

Địa chỉ: 54 Hoàng Như Tiếp, Long Biên, Hà Nội 1

LỚP TOÁN THẦY CƯỜNG Liên hệ: 0967453602

Phần II CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số

Loại 1. Khi biết công thức hàm số

Phương pháp giải

Bước 1: Tìm tập xác định. Bước 2: Tính đạo hàm f ′(x). Tìm các điểm xi(i = 1, 2, ...) mà tại đó đạo hàm bằng 0 và không xác định. Bước 3: Sắp xếp các điểm xi theo thứtựtăng dần và lập bảng biến thiên. Bước 4: Kết luận các khoảng đồng biến (f ′(x) mang dấu ” + ”) và các khoảng nghịch biến (f ′(x) mang dấu ” −”). Chú ý: Chỉviết hàm sốđơn điệu trên khoảng và nếu có 2 khoảng trởlên thì ta dùng từ "và" đểnối giữa 2 khoảng.

a. Ví dụminh hoạ

Ví dụ1

Cho hàm sốy = √

2x2 + 1. Mệnh đềnào sau đây đúng? A. Hàm sốđồng biến trên khoảng (0; +∞). B. Hàm sốđồng biến trên khoảng (−∞; 0). C. Hàm sốnghịch biến trên khoảng (0; +∞). D. Hàm sốnghịch biến trên khoảng (−∞; 0).

Hướng dẫn giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ví dụ2

Cho hàm sốy = x x2 + 2. Mệnh đềnào sau đây sai?

A. Hàm sốđồng biến trên khoảng (−1; 1). B. Hàm sốnghịch biến trên khoảng (−∞; −1). C. Hàm sốnghịch biến trên khoảng (1; +∞). D. Hàm sốnghịch biến trên khoảng (−1; 1).

Hướng dẫn giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . …