Chuyên đề trắc nghiệm tính đơn điệu của hàm số

CHỦ ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1) Quy tắc xét dấu biểu thức

Để xét dấu cho biểu thức ( ) ( ) ( ) = p x g x q x ta làm như sau:

- Bước 1: Điều kiện: ( ) 0 ≠ q x .

Tìm tất cả các nghiệm của ( ) ( ) ; p x q x và sắp xếp các nghiệm đó theo thứ tự tăng dần và điền vào trục số

Ox.

- Bước 2: Cho →+∞ x để xác định dấu cùa ( ) g x khi →+∞ x .

- Bước 3: Xác định dấu của các khoảng còn lại dựa vào quy tắc sau:

Chú ý: Qua nghiệm bội lẻ thì ( ) g x đổi dấu còn qua nghiệm bội chẵn thì ( ) g x không đổi dấu (chẵn giữ

nguyên, lẻ đổi dấu).

Ví dụ: Xét dấu của biểu thức ( ) ( ) ( ) ( )( )

4

2 4 . 5

2 1

− − = + +

x x f x x x

.

Bước 1: Ta thấy nghiệm của biểu thức trên là 2; 1;4;5 − − sắp xếp thứ tự tăng dần trên trục số.

Bước 2: Khi →+∞ x (ví dụ cho x = 10000) ta thấy ( ) f x nhận giá trị dương.

Bước 3: Xác định dấu cùa các khoảng còn lại. Do ( ) 4 5 − x mũ chẵn (nghiệm bội chẵn) nên qua 5 biểu

thức không đổi dấu. Do ( ) 1 4 − x mũ lẻ (nghiệm bội lẻ) nên qua 4 biểu thức đổi dấu ...

Ta được bảng xét dấu cùa ( ) f x như sau:

x −∞ 2 − 1 − 4 5 +∞ ( ) f x + 0 − 0 − 0 + 0 +

Kết luận: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ; 2 4;5 5; > ⇔ ∈−∞− ∪ ∪ +∞ f x x và ( ) ( ) ( ) 0 2; 1 1;4 < ⇔ ∈− − ∪− f x x .

2) Tính đơn điệu của hàm số

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số ( ) = v f x xác định trên K.

■ Hàm số ( ) = y f x đồng biến (tăng) nếu với mọi cặp 1 2 ; x x thuộc K mà thì ( ) ( ) 1 2 < f x f x tức là

( ) ( ) 1 2 1 2 < ⇔ < x x f x f x .

■ Hàm số ( ) = y f x nghịch biến (giảm) nếu với mọi cặp 1 2 ; x x thuộc K mà 1 2 < x x thì ( ) ( ) 1 2 > f x f x

tức là ( ) ( ) 1 2 1 2 < ⇔ > x x f x f x .

Ví dụ 1: Xét hàm số ( ) 2 1 = = + y f x x

Xét ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 < ⇔ < ⇒ + < + ⇒ < x x x x x x f x f x suy ra hàm số ( ) 2 1 = = + y f x x là một

hàm số đồng biến trên .

Ví dụ 2: Hàm số ( ) 7 2 = = − + y f x x nghịch biến trên , vì: Giả sử 1 2 < x x , ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 1 1 2 7 7 7 0 − = − + = − > ⇒ > f x f x x x x x f x f x suy ra hàm số ( ) 7 2 = = − + y f x x là một

hàm số đồng biến trên .

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.

Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy: 1 2 ; ∀ ∈ x x K và 1 2 ≠ x x , thì hàm số

( ) f x đồng biến trên K ( ) ( ) 2 1

2 1 0 − ⇔ > − f x f x x x

( ) f x nghịch biến trên K ( ) ( ) 2 1

2 1 0 − ⇔ < − f x f x x x

Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải, nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi

xuống từ trái sang phải.

ĐỊNH LÝ: Cho hàm số ( ) = y f x có đạo hàm trên K.

a) Nếu ( ) 0 ′ > f x với mọi x thuộc K thì hàm số ( ) f x đồng biến trên K.

b) Nếu ( ) 0 ′ < f x với mọi x thuộc K thì hàm số ( ) f x nghịch biến trên K.

Tóm lại xét trên K ( ) ( ) : 0 ′ > ⇒ K f x f x đồng biến; ( ) ( ) 0 ′ < ⇒ f x f x nghịch biến.

Chú ý: Nếu ( ) ( ) 0 ′ = ∀∈ f x x K thì hàm số ( ) = y f x là hàm số không đổi trên K.

ĐỊNH LÝ MỞ RỘNG

Giả sử hàm số ( ) = y f x có đạo hàm trên K. Nếu ( ) ( ) ( ) 0 0 , ′ ′ ≥ ≤ ∀∈ f x f x x K và ( ) 0 ′ = f x chỉ tại một

số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K.

Ví dụ: Xét hàm số 3 2 3 3 10 = − + + y x x x thì ( ) 2 2 3 6 3 3 1 0 ′ = − + = − ≥ y x x x , dấu bằng xảy ra chỉ tại điểm

1 = x do đó hàm số đã cho đồng biến trên .

II. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN

 Loại 1: Tìm các khoảng đơn điệu (khảo sát chiều biến thiên) cùa hàm số ( ) = y f x dựa vào bảng

xét dấu ′y .

Phương pháp giải.

■ Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số. Tính đạo hàm ( ) ′ ′ = y f x .

■ Bước 2. Tìm các điểm tại đó ( ) 0 ′ = f x hoặc ( ) ′f x không xác định.