Tài liệu chuyên Toán chủ đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit

HàM Số LũY THừA, HàM Số Mũ

Và HàM Số LOGARIT

***********

Khái niệm lũy thừa từ lâu đã quen thuộc với học sinh trung học cơ sở và trung học phổ thông. Lũy thừa được biết đến như một phép toán thứ năm cùng với cộng trừ nhân chia thể hiện một vai trò quan trọng không thể thiếu trong Toán học. Trước kia, lũy thừa được hiểu là phép “nhân chồng chất”, nghĩa là nó là cách biểu diễn ngắn gọn của một dãy các phép nhân cho cùng một số, tương tự như nhân là một cách biểu diễn của phép cộng. Rồi cùng với sự phát triển của xã hội, nhiều vấn đề phát sinh đòi hỏi Toán học phải vận động không ngừng để đáp ứng được những yêu cầu đặt ra. Đó chính là nguyên nhân xuất hiện khái niệm giới hạn mà từ đó, định nghĩa lũy thừa với số mũ thực đã ra đời và dần được ứng dụng rộng rãi trong lý thuyết cũng như nhiều lĩnh vực của đời sống.

Trong chương này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu sự mở rộng của khái niệm lũy thừa và phép toán ngược của nó là logarit. Trên cơ sở các định nghĩa, chúng ta sẽ phân tích và khảo sát ba dạng hàm số có quan hệ mật thiết với nhau là hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit. Các nội dung này đã một lần được giới thiệu trong chương V, Tài liệu giáo khoa Chuyên Toán 11 nhưng ë mức độ khá sơ lược. Do đó, tìm hiểu chương này chính là dịp để chúng ta thấy rõ hơn, sâu hơn về lũy thừa, logarit từ cơ bản cho đến nâng cao cũng như biết được các ứng dụng của chúng trong thực tế.

§1. mở RộNG KHáI NIệM HàM Số LũY ThừA.

****************

Lũy thừa được giới thiệu lần đầu tiên vào chương trình lớp 7 và trong suốt thời gian sau đó, chúng ta đã dần được biết đến các phép tính lũy thừa và căn thức thông qua những bài tính toán với số cô thể, những bài rút gọn biểu thức đại số hay quen thuộc hơn cả là với các phương trình bậc hai, bậc ba, phương trình căn thức,…Tuy nhiên, các hiểu biết của chúng ta chỉ dừng lại khi xem xét số mũ là hữu tỉ và chúng ta không hiểu được số có

lũy thừa vô tỉ, chẳng hạn như 2 2 mang ý nghĩa gì. Trong phần này, chúng ta sẽ cùng nhìn lại một cách tổng quát về lũy thừa hữu tỉ và từ đó tìm hiểu ý nghĩa của lũy thừa vô tỉ.

1. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

a) Lũy thừa với số mũ nguyên dương

Giống như phép nhân là cách viết ngắn gọn của dãy các phép cộng, lũy thừa cũng chính là cách viết ngắn gọn của dãy các phép nhân như định nghĩa bên dưới.

Định nghĩa 1.

Với mỗi số nguyên dương n , lũy thừa bậc n (còn gọi là lũy thừa của a với số mũ n ) là số n a xác định bởi

...

thừa số

n

n a a a a a     với 1 n và 1a a 

trong đó a được gọi là cơ số và n là số mũ của lũy thừa n a .

b) Lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm

Định nghĩa 2.

Với 0 a  , lũy thừa bậc 0 của a là 0 1 a . Chú ý là kí hiệu 0 ( 0) n n  không có nghĩa.

Với 0 a  và n là số nguyên âm, lũy thừa bậc n của a là 1 n

n a a  .

c) Các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên

Định lÝ 1.

Với 0, 0 a b   và với các số nguyên , 0 m n  , ta có các đẳng thức sau

1) m n m n a a a    2)

m

m n n a a a

 

3) ( ) m n mn a a  4) ( )n n n ab a b 

5)

n n

n a a b b

     

Định lÝ 2.

Cho , m n là các số nguyên, khi đó ta có các đánh giá sau

1) Với 1 a  thì m n a a m n    .

2) Với 0 1 a   thì m n a a m n    .

Từ đó, ta có thể suy ra ba hệ quả sau (những điều thường sử dụng trong việc giải phương trình hoặc chứng minh bất đẳng thức).

Hệ quả.

1) Với 0 a b   và m là số nguyên thì 0 m m a b m    và 0 m m a b m   .

2) Với mọi số thực a b  và n là số tự nhiên lẻ thì n n a b  .

3) Với ,a b là các số thực dương và n là số nguyên khác 0 thì n n a b a b    .

Ví dụ 1. Không dùng máy tính, hãy so sánh hai số 100 100 99 100  và 100 101 .

Lời giải. Ta có 100 100 100 99 100 2.100   , ta sẽ chứng minh rằng 100 100 2.100 101  . Thật vậy

Theo bất đẳng thức Bernoulli thì

100 100 101 1 1 1 1 100. 2 100 100 100                

hay

100 100 2.100 101  . Do đó 100 100 100 99 100 101   .

Các bất đẳng thức dạng này khá yếu và thường ta sẽ dùng các đánh giá trung gian đưa về cùng số mũ …