Chuyên đề toán thực tế phương pháp tọa độ trong mặt phẳng môn Toán 10

CHUYÊN ĐỀ 8. ĐƯỜNG THẲNG A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Phương trình tham số của đường thẳng

- Vectơ u được gọi là vectơ chỉ phưong của đường thẳng ∆ nếu 0 ≠  u và giá của u song song hoặc trùng với ∆.

- Hệ ( 0 2 2

0 0 = +  + >  = + 

x x at a b y y bt và t là tham số) được gọi là phưong trình tham số của đường thẳng ∆ đi

qua ( ) 0 0 0 ; M x y và nhận ( ; ) = u a b làm vectơ chỉ phương.

2. Phương trình tổng quát của đường thẳng

- Vectơ n được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu 0 ≠  n và giá của n vuông góc với ∆.

Nhận xét: Nếu đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương là ( ; ) = u a b thì vectơ ( ; ) = − n b a là một vectơ pháp

tuyến của ∆ và ngược lại.

- Phương trình 0 + + = ax by c ( a và b không đồng thời bằng 0 ) được gọi là phương trình tổng quát của

đường thẳng.

3. Lập phương trình đường thẳng a) Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến Phương trình đường thẳng ∆

đi qua điểm ( ) 0 0 0 ; M x y và nhận ( ; )( 0) = ≠    n a b n làm vectơ pháp tuyến là ( ) ( ) 0 0 0 − + − = a x x b y y .

b) Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm và biết vectơ chỉ phương

Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm ( ) 0 0 0 ; M x y và nhận ( ; )( 0) = ≠    u a b u làm vectơ

chỉ phương là: 0

0 ( laø tham soá). x x at t y y bt

 = + = + 

Nếu 0 ≠ a và 0 ≠ b thì ta còn có thể viết phương trình của đường thẳng ∆ ở dạng:

0 0 . x x y y a b − − =

c) Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua hai điểm ( ) ( ) 0 0 1 1 ; , ; A x y B x y là:

( ) ( )

0 1 0

0 1 0 (laø tham soá). x x x x t

y y y y t

= + − = + − 

Nếu 1 0 0 − ≠ x x và 1 0 0 − ≠ y y thì ta còn có thể viết phương trình của đường thẳng ∆ ở dạng:

0 0

1 0 1 0

− − = − − x x y y x x y y .

Chú ý: Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm ( ;0) A a và (0; )( 0) ≠ B b ab có phương trình 1 + = x y a b , gọi là

phương trình đường thẳng theo đoạn chắn.

4. Vị trí tương đối của hai đường thẳng a) Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng 1 2 , ∆∆ lần lượt có vectơ chỉ phương là 1 2 ,  u u . Khi đó

- 1 ∆ cắt 2 ∆ khi và chỉ khi 1 2 ,  u u không cùng phương.

- 1 ∆ song song với 2 ∆ khi và chỉ khi 1 2 ,  u u cùng phương và có một điểm thuộc một đường thẳng mà

không thuộc đường thẳng còn lại.

- 1 ∆ trùng với 2 ∆ khi và chỉ khi 1 2 ,  u u cùng phương và có một điểm thuộc cả hai đường thẳng đó.

Chú ý: 1 ∆ vuông góc với 2 ∆ khi và chỉ khi 1 2 ,  u u vuông góc với nhau.

b) Cho hai đường thẳng 1 ∆ và 2 ∆ có phương trình lần lượt là: 1 1 1 2 2 2 0; 0. a x b y c a x b y c + + = + + =

Xét hệ phương trình:

1 1 1

2 2 2

0

0

+ + =   + + = 

a x b y c

a x b y c

Khi đó

- 1 ∆ song song với 2 ∆ khi và chỉ khi hệ (I) vô nghiệm.

- 1 ∆ trùng với 2 ∆ khi và chỉ khi hệ (I) có vô số nghiệm.

5. Góc giữa hai đường thẳng Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng 1 ∆ và 2 ∆ có vectơ chỉ phương lần lượt là

( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 ; , ; = =   u a b u a b . Khi đó ( )

1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 cos , a a b b

a b a b

+ ∆∆ = + ⋅ +

Nhận xét

- 1 2 1 2 1 2 0 ∆⊥∆⇔ + = a a b b .

- Cho hai đường thẳng 1 ∆ và 2 ∆ có vectơ pháp tuyến lần lượt là 1 2 ,  n n . Ta cũng có:

( ) ( )

1 2 1 2 1 2 1 2 cos , cos , . n n n n n n

⋅ ∆∆ = = ⋅

    

6. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho đường thẳng ∆ có phương trình 0 + + = ax by c ( ) 2 2 0 + > a b và điểm

( ) 0 0 ; M x y . Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆, kí hiệu là ( , ) ∆ d M , được tính bởi công thức

sau: 0 0

2 2 ( , ) ax by c d M a b

+ + ∆= +

Chú ý: Nếu ∈∆ M thì ( , ) 0 ∆= d M .

B. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Câu 1: Để tham gia một phòng tập thể dục, người tập phải trả một khoản phí tham gia ban đầu và phí sử dụng phòng tập. Đường thẳng ∆ ở Hình 38 biểu thị tổng chi phí (đơn vị: triệu đồng) để tham gia một phòng thập thể dục theo thời gian tập của một người (đơn vị: tháng).