Đề thi học sinh giỏi Toán 11 năm 2024 - 2025 trường THPT Bình Chiểu - TP HCM

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG THPT BÌNH CHIỂU

ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 02 trang)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC: 2024 – 2025

MÔN: TOÁN 11 Ngày thi: 28/9/2024 – Thời gian: 120 phút

Câu 1 (4 điểm):

a) Cho 4 sin 5  và 3

2

     . Tính cos2 , sin 2

  .

b) Với mọi ( ) 4 2 x k k      . Chứng minh rằng: 1 sin 2 tan 4 cos2

x x x          

.

Câu 2 (3 điểm): Cho tứ diện ABCD. Gọi O là điểm bên trong tam giác BCD, M là điểm trên AO. Hãy tìm giao tuyến giữa hai mặt phẳng   MCD và   ABD .

Câu 3 (3 điểm): Một gia đình dự định trồng rau và hoa trên một mảnh đất có diện tích 8 ha. Nếu trồng 1 ha rau thì cần 20 ngày công và thu lợi 3 triệu. Nếu trồng hoa thì cần 30 ngày công và thu lợi 4 triệu. Biết rằng, gia đình chỉ có thể sử dụng không quá 180 ngày công cho công việc trồng rau và hoa. Tìm số lợi nhuận cao nhất từ việc gia đình trồng rau và hoa nói trên? Câu 4 (3 điểm): Có 10 tấm bìa khác nhau ghi 10 chữ “NƠI”, “NÀO”, “CÓ”, “Ý”, “CHÍ”, “NƠI”, “ĐÓ”, “CÓ”, “CON”, “ĐƯỜNG”. Một người xếp ngẫu nhiên 10 tấm bìa cạnh nhau. Tính xác suất để xếp các tấm bìa được dòng chữ “NƠI NÀO CÓ Ý CHÍ NƠI ĐÓ CÓ CON ĐƯỜNG”. Câu 5 (3 điểm): Bạn Hà cần làm một khung ảnh hình chữ nhật sao cho phần trong của khung là hình chữ nhật có kích thước 17cm x 25cm, độ rộng viền xung quanh là   x cm (tham

khảo hình vẽ). Hỏi bạn Hà cần phải làm độ rộng viền khung ảnh tối đa bao nhiêu cm để diện tích của cả khung ảnh lớn nhất là 2 513 cm ?

Câu 6 (4 điểm): Trong hình bên dưới, ba điểm , , M N P nằm ở đầu các cánh quạt của tua- bin gió. Biết các cánh quạt dài 31m, độ cao của điểm M so với mặt đất là 30m, khoảng

cách từ trục quay của tua-bin tới mặt đất là 60m. Biết góc giữa các cánh quạt là 2

3

 và số

đo góc   , OA OM là  như hình vẽ

a) Tính sin và cos. b) Tính chiều cao của các điểm N và P so với mặt đất (theo đơn vị mét). Làm tròn kết quả đến hàng phần chục.

------ HẾT -----

Học sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ tên thí sinh: …………………………….........Số báo danh:……………….

Chữ kí của giám thị 1: …………………….........Chữ kí của giám thị 2:……..

THANG ĐIỂM ĐÁP ÁN THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MÔN TOÁN KHỐI 11

1a) Cho 4 sin 5  và 3

2

      . Tính cos2 , sin 2

  . 2 điểm

2

2 4 7 cos2 1 2sin 1 2. 5 25           

.

0.5

2 4 3 cos 1 5 5          

.

0.5

         2 2 3 4 2 5 1 2sin sin sin 5 2 2 5 2 5 .

1

b) Với mọi ( ) 4 2      x k k . Chứng minh rằng: 1 sin 2 tan 4 cos2          

x x x . 2 điểm

1 tan tan 4 1 tan            

x VT x x

 

2

2 2 cos sin cos sin 1 sin 2 cos sin cos sin cos2          x x x x x VP x x x x x .

0.5x4

Câu 2 (3 điểm): Cho tứ diện ABCD. Gọi O là điểm bên trong tam giác BCD, M là điểm trên

AO.

   ( ) (1) D MCD ABD 0.5

Gọi G CO BD   ,   H MC AG 0.5         , ; , H AG AG ABD H CM CM MCD . Suy ra    ( ) (2) H MCD ABD 1.5

    (1)(2) MCD ABD DH    0.5

Câu 3 (3 điểm):Gọi , x y   0, 0 x y   lần lượt là số ha đất trồng rau và hoa. 0.25

Diện tích đất trồng canh tác không vượt quá 8 ha nên ta có: 8 x y   . 0.25 Số ngày công sử dụng không vượt quá 180 ngày nên 20 30 180 x y   . 0.25 Từ đó, ta có hệ bất phương trình:



0

0 1 8 20 30 180

x

y x y x y

         

1

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền trong của tứ giác OABC, kể cả 4 cạnh của tứ

giác đó, với         0;0 , 8;0 , 6;2 , 0;6 O A B C

Ta có:       (0,0) 0; 8;0 21; 6;2 26; 0;6 24 T T T T    

1