Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 10 Trại hè Hùng Vương lần thứ 18 năm 2024

TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XVIII-HÒA BÌNH 2024

_______________________

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

LẦN THỨ XVIII, NĂM 2024 ĐỀ THI MÔN: TOÁN, KHỐI 10 Ngày thi: 02/8/2024 Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề thi gồm: 01 trang

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Chú ý: Thí sinh làm mỗi bài toán trên một tờ giấy thi! Bài 1 (4,0 điểm). Cho ( ) P x là một đa thức bậc 4 với hệ số thực.

) a Chứng minh rằng tồn tại bộ số thực ( ) , , , , a b c d e thoả mãn

= − − − + − − + − + + ∀∈ ( ) ( 1)( 2)( 3) ( 1)( 2) ( 1) , . P x ax x x x bx x x cx x dx e x  ) b Tìm điều kiện cần và đủ của , , , , a b c d e sao cho ( ) P x nhận giá trị là số nguyên với mọi số nguyên .x Bài 2 (4,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ( ). O Điểm M thuộc tia đối của tia CA ( ). M C  Lấy D đối xứng với B qua , M AD cắt ( ) O tại điểm thứ hai là . E Đường tròn ( ) ACD cắt AB tại điểm thứ hai là . F ) a Gọi I là giao điểm khác A của ( ) AEF và ( ). ABD Chứng minh rằng // . AI BD

) b Gọi S là giao điểm khác A của ( ) AEF và , AC đường trung trực của SI cắt BD tại . J Chứng minh rằng , , J E F thẳng hàng.

Bài 3 (4,0 điểm). Cho các số thực dương , , a b c thỏa mãn điều kiện 3 3 3 5 . a b c abc + + =

Chứng minh rằng

( ) 1 1 1 10. a b c a b c

  + + + + ≥    

Bài 4 (4,0 điểm). Trong một chiếc hộp chứa 2024 viên bi có cùng kích thước, trên mỗi viên bi được ghi một số nguyên dương từ 1 đến 2024, hai số ghi trên hai viên bất kì là khác nhau. Bạn An lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp, ghi lại số trên viên bi lên bảng rồi trả lại viên bi vừa lấy vào hộp. Tiếp theo hai bạn Hùng và Vương lần lượt thực hiện như bạn An. ) a Tính xác suất để 3 số ghi được trên bảng giống nhau.

) b Chứng minh rằng xác suất để tổng 3 số ghi được trên bảng là số chính phương bé hơn 1 . 46

Bài 5 (4,0 điểm). Một bộ số ( ; ; ), x y z với , , x y z nguyên dương, được gọi là “bộ ba tốt của n ” nếu

2 2 2 5 . n x y z = + −

) a Cho ( ; ; ) x y z là một bộ ba tốt của 0. Chứng minh 4 2 2 4z x y − chia hết cho 36. ) b Chứng minh rằng với n là số tự nhiên thì luôn tồn tại bộ ba tốt của . n ---------------------------------HẾT--------------------------------- (Thí sinh không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) Họ tên thí sinh:…..……………………………………………………………...................... Số báo danh: …..……………………… Phòng thi: …..………………………….

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XVIII-HÒA BÌNH 2024

_______________________

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

LẦN THỨ XVIII, NĂM 2024 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN, KHỐI 10

(Hướng dẫn chấm gồm có 05 trang)

Bài Hướng dẫn Điểm

1

(4,0 điểm). Cho ( ) P x là một đa thức bậc 4 với hệ số thực.

) a Chứng minh rằng tồn tại bộ số thực ( ) , , , , a b c d e thoả mãn

= − − − + − − + − + + ∀∈ ( ) ( 1)( 2)( 3) ( 1)( 2) ( 1) , . P x ax x x x bx x x cx x dx e x 

) b Tìm điều kiện cần và đủ của , , , , a b c d e sao cho ( ) P x nhận giá trị là số nguyên với mọi số nguyên .x

1a

Ta có (0) , (1) , (2) 2 2 , (3) 6 6 3 , P e P d e P c d e P b c d e = = + = + + = + + +

(4) 24 24 12 4 . P a b c d e = + + + +

0.5

Suy ra , , , , a b c d e được xác định như sau:

(2) 2 (1) (0) (0), (1) (0), , 2 P P P e P d P P c − + = = − = (3) 3 (2) 3 (1) (0) 6 P P P P b − + − =

và (4) 4 (3) 6 (2) 4 (1) (0). 24 P P P P P a − + − + =

0.5

Với , , , , a b c d e xác định như trên thì hai đa thức bậc không quá bốn ( ) P x và ( ) = − − − + − − + − + + ( 1)( 2)( 3) ( 1)( 2) ( 1) Q x ax x x x bx x x cx x dx e bằng nhau tại 5

giá trị ; ; ; ; x = 0 1 2 3 4 nên ( ) ( ), P x Q x x = ∀∈.

0.5

1b

Điều kiện cần:

Nếu ( ) P x luôn là số nguyên mọi số nguyên x thì (0), (1), (2), (3), (4) P P P P P là các số nguyên. Khi đó , ,2 ,6 ,24 e d c b a là các số nguyên.

1.0

Điều kiện đủ: Giả sử , ,2 ,6 ,24 e d c b a là các số nguyên. Với x là số nguyên bất kỳ, ta có

( 1)( 2)( 3) ( 1)( 2) ( 1) ( ) 24 6 2 . 24 6 2 x x x x x x x x x P x a …