Hướng dẫn giải một số bài toán bất đẳng thức ôn thi vào lớp 10

CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ÔN THI VÀO LỚP 10 I. Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho a, b,c là các số không âm chứng minh rằng (a+b)(b+c)(c+a)8abc Giải: Cách 1: Dùng bất đẳng thức phụ:   xy y x 4 2   Ta có   ab b a 4 2   ;   bc c b 4 2   ;   ac a c 4 2     2 b a    2 c b    2 a c     2 2 2 2 8 64 abc c b a  (a+b)(b+c)(c+a)8abc Dấu “=” xảy ra khi a = b = c Ví dụ 2:

1) Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1 CMR: 9 1 1 1    c b a (403-1001)

2) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1 CMR:x + 2y + z ) 1 )( 1 )( 1( 4 z y x     3) Cho a > 0, b > 0, c > 0

CMR: 2 3       b a c a c b c b a

4) Cho x 0 ,y 0  thỏa mãn 1 2   y x ;CMR: x+y 5 1 

Ví dụ 3: Cho a>b>c>0 và 1 2 2 2    c b a

Chứng minh rằng

3 3 3 1 2 a b c b c a c a b      

Giải:

Do a, b, c đối xứng,giả sử abc 



 

    

 

b a c c a b c b a c b a 2 2 2

Áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có

                   b a c c a b c b a c b a b a c c c a b b c b a a . 3 . . .

2 2 2 2 2 2 = 2 3 . 3 1 = 2 1

Vậy 2 1 3 3 3       b a c c a b c b a Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=

3

1

Ví dụ 4: Cho a, b, c, d > 0 và abcd = 1.Chứng minh rằng :       10 2 2 2 2           a c d d c b c b a d c b a Giải: Ta có ab b a 2 2 2   cd d c 2 2 2  

Do abcd =1 nên cd = ab 1 (dùng 2 1 1  x x )

Ta có 4 ) 1 ( 2 ) ( 2 2 2 2        ab ab cd ab c b a (1)

Mặt khác:       a c d d c b c b a      =(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad)

= 2 2 2 1 1 1                           bc bc ac ac ab ab

Vậy       10 2 2 2 2           a c d d c b c b a d c b a Ví dụ 5: Cho 4 số a, b, c, d bất kỳ chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2 ) ( ) ( d c b a d b c a        Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski tacó ac+bd 2 2 2 2 . d c b a   mà       2 2 2 2 2 2 2 d c bd ac b a d b c a         

  2 2 2 2 2 2 2 2 . 2 d c d c b a b a       

 2 2 2 2 2 2 ) ( ) ( d c b a d b c a        II. Một số bài tập thường gặp trong các đề thi vào lớp 10

Bài 1: Cho các số thực dương a, b, c. CMR: c b a 

2 + c a b 

2 + a b c 

2  2 c b a  

Bài giải:

Với a, b, c > 0 ta có: c b a 

2 + 4 c b   a (áp dụng bất đẳng thức Cô si)

Tương tự ta có: c a b 

2 + 4 c a   b; và a b c 

2 + 4 b a   c

 c b a 

2 + c a b 

2 + a b c 

2 + 2 c b a    a + b + c

 c b a 

2 + c a b 

2 + a b c 

2  2 c b a   (đpcm)

Vậy c b a 

2 + c a b 

2 + a b c 

2  2 c b a  

Bài 2: Cho x, y > 0; thoả x + y = 1. Tìm Min A =

2 2 1

x y  + 1 xy .Bài giải:

Ap dụng bất đẳng thức (a + b)2 4ab => a b ab   4 a b  1 1 a b   4 a b  (a, b > 0)

Mặt khác: x + y  2 xy => xy 

2 (x y) 4  = 1 4 (áp dụng bất đẳng thức Cô si)

A =

2 2 1

x y  + 1 2xy + 1 2xy  2 2 4 x y 2xy   + 1 2xy = 2 4 (x y)  + 1 2xy 4 + 1 1 2. 4

= 4 + 2 = 6

Vậy MinA = 6 khi x = y = 1 2

Bài 3.

2 2 2 2 2 2

, , 0: 1 1 1 1 1 : 2 3 2 3 2 3 2

Cho a b c abc

CMR a b b c c a

 

        

Hướng dẫn Ta có:   2 2 2 2 2 2 ; 1 2 2 3 2 1 a b ab b b a b ab b         