Bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức hình học phẳng

1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ

BÀI TOÁN 1. SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ PYTHAGORE ĐỂ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC

Định lý Pythagore là một định lý rất đẹp của hình học sơ cấp thể hiện mối quan hệ về độ dài giữa các cạnh của một tam giác vuông. Ta có thể ứng dụng định lý Pythagore vào việc chứng minh các quan hệ hình học, đặc biệt là chứng minh các đẳng thức, bất đẳng thức hình học.

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Định lý Pythagore. Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

ABC  vuông tại A 2 2 2 BC AB AC    .

Chú ý: Nếu đặt BC a  ; AC b  ; AB c  thì ta có 2 2 2 a b c   .

2. Định lý Pythagore đảo

Nếu tam giác ABC có độ dài ba cạnh thỏa mãn 2 2 2 BC AB AC   thì tam giác ABC vuông tại đỉnh A.

3. Chú ý

Để vận dụng có hiệu quả định lý Pythagore, chúng ta cần trang bị một số kiến thức cơ bản sau:

a) Các đẳng thức được học trong đại số:

  2 2 2 2 a b a ab b    

  2 2 2 2 a b a ab b    

   2 2 a b a b a b    

b) Tính chất hình học: Hai đoạn thẳng song song chắn giữa hai đường thẳng song song thì chúng bằng nhau.

c) Tính chất hình học: Nếu ABC  vuông tại A và 60 B   thì 2 BC AC  .

II. CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của AB. Kẻ MH vuông góc với BC

  H BC  . Chứng minh 2 2 2 CH BH AC   .

Lời giải

BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC PHẲNG

2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ

Áp dụng định lý Pythagore vào các tam giác vuông MCH và MBH ta được:

2 2 2 CH CM MH    1

2 2 2 BH BM MH    2

Trừ 1 cho  2 :

2 2 2 2 CH BH CM BM   

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông ACM và chú ý AM BM  ta được điều phải chứng minh.

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuông tại A có 12 AB cm  ; 18 AC cm  . Trên cạnh AC lấy điểm M sao

cho 5 AM cm  . Chứng minh rằng: 2 AMB C  .

Lời giải

Áp dụng định lý Pythagore vào ta

2 2 2 2 2 12 5 169 BM AB AM      .

13 BM cm  

Mặt khác 18 AC cm  ; 5 AM cm  nên 13 MC cm  .

Vậy tam giác BMC cân tại M.

Từ đó MBC C  .

Theo tính chất góc ngoài của tam giác ta có

2 AMB MBC C C   

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC, D là điểm bất kì trong trong tam giác. Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu của D lên BC, CA, AB. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 BH CI AK CH AI BK      .

Lời giải

Nối DA, DB, DC. Áp dụng định lý Pythagore vào các tam giác vuông BDH và CDH ta được:

2 2 2 2 2 DH BD BH CD CH     .

Suy ra: 2 2 2 2 BH CH BD CD     1 .

Tương tự ta có: 2 2 2 2 CI AI CD AD     2 ;

2 2 2 2 AK BK AD BD     3 .

Cộng các đẳng thức  1 ,  2 và  3 ta được:

2 2 2 2 2 2 0 BH CH CI AI AK BK       . Từđó:

2 2 2 2 2 2 BH CI AK CH AI BK      .

3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ

Ví dụ 4. Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng

2 2 2 2 2 4 AB AC BC AM    .  *

Lời giải

Kẻ   AH BC H BC   .

Áp dụng định lý Pythagore vào các tam giác vuông ABH, ACH và AHM ta được:

2 2 2 AB BH AH    1

2 2 2 AC CH AH    2

Cộng các vế của đẳng thức  1 và  2 :

    2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 AB AC BH CH AH BM HM BM HM AH         

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 BC BC HM AH AM     

Từ đó:

2 2 2 2 2 4 AB AC BC AM   

Chú ý: 1) Hệ thức  * cho phép tính độ dài đường trung tuyến của một tam giác thông qua độ dài các

cạnh của tam giác đó. Người ta gọi  * là công thức trung tuyến.

2) Nếu tam giác ABC vuông tại A, khi đó AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC. Để ý rằng

2 2 2 AB AC BC   , thay vào hệ thức  * ta được:

2 2 4 BC AM  . Từ đó 1 2 AM BC  .

Ta có tính chất quen thuộc: Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền dài bằng nửa cạnh huyền.

Ví dụ 5. Cho tam giác ABC cân a tại A, có AB AC b   và BC a  . Kẻ hai đường cao AH và BK. Chứng minh:

a)

2 2 4 a AH b   ; b)

4 2 2 4 a BK a b  