Phương pháp Đirichlê và ứng dụng - Nguyễn Hữu Điển

L `O,I N ´OI Ð `ÂU

Nguyên l´y nh˜u,ng c´ai lô`ng v`a c´ac ch´u th,o ¯d˜a ¯du,.o,c biê´t ¯dê´n t`u, rõ´t lâu. Ngay trong chu,o,ng tr`ınh phô,thông co, s,o, ch´ung ta c˜ung ¯d˜a l`am quen v´o,i phu,o,ng ph´ap gi,ai to´an n`ay. Th.u,c ra nguyên l´y n`ay mang tên nh`a b´ac h.oc ngu,`o,i é´u,c Pête Gutxtap Legien Dirichlet (1805- 1859). Nguyên l´y ph´at biê,u rõ´t ¯do,n gi,an: Nê´u ch´ung ta nhô´t th ,o v`ao c´ac lô`ng m`a sô´lô`ng ´ıt ho,n sô´th ,o, th`ı thê,n`ao c˜ung c´o m.ôt lô`ng nhô´t ´ıt nhâ´t hai con th ,o.

Ch,ı b`˘ang nguyên l´y ¯do,n gi,an nhu, v.ây h`ang lo.at c´ac b`ai to´an ¯d˜a

¯du,.o,c gi,ai.

Cuô´n s´ach ¯du,.o,c biên so.an l.ai theo t`u,ng ch,u ¯dê`c´o liên quan ¯dê´n nguyên l´y, m˜ôi c´ach gi,ai trong v´ı d.u c,ua t`u,ng chu,o,ng l`a ´ap d.ung

¯diê,n h`ınh nguyên l´y éirichlờ. B`ai t.âp gi,ai tru,´o,c c´o liên quan ¯dê´n b`ai gi,ai sau nên câ`n lu,u ´y khia ¯d.oc s´ach. V´o,i mong muô´n c`ung b.an ¯d.oc th,ao lu.ân m.ôt phu,o,ng ph´ap ch´u,ng minh to´an h.oc v`a hy v.ong cung câ´p m.ôt t`ai li.êu bô,´ıch cho c´ac thâ`y cô gi´ao v`a c´ac em h.oc sinh ham mê t`ım t`oi trong to´an h.oc, t´ac gi,a m.anh d.an biên so.an cuô´n s´ach n`ay. Do kh,a n˘ang v`a th`o,i gian c`on h.an chờ´, cuô´n s´ach ch´˘ac ch´˘an không tr´anh kh,oi thiê´u s´ot. Ch´ung tôi mong ¯du,.o,c s.u, ¯d´ong g´op ´y kiê´n c,ua ¯d.oc gi,a. Thu, g´op ´y xin g,u,i vê`Nh`a xuâ´t b,an Khoa h.oc v`a K˜y thu.ât - 70 Trâ`n Hu,ng é.ao, H`a N.ôi.

3

4 L`o,i n´oi ¯dâ`u

T´ac gi,a xin chân th`anh c,am o,n PGS-TSKH é˜ụ Hô`ng Tân ¯d˜a ¯d.oc v`a ¯d´ong g´op nhiê`u ´y kiê´n qu´ı b´au trong qu´a tr`ınh ho`an ch,ınh b,an th,ao.

T´ac gi,a

CHU,O,NG 1

NGUYÊN L´Y éIRICHLấ V `A V´I D .U

1.1. Nguyên l´y éirichlờ

Nguyên l´y éirichlờ nhiê`u khi ngu,`o,i ta g.oi l`a ăNguyờn l´y nh˜u,ng ng˘an k´eoă. éõy l`a m.ôt nguyên l´y rõ´t ¯do,n gi,an, ¯d.˘ac bi.êt c´o nhiê`u ´u,ng d.ung trong c´ac l˜ınh v.u,c kh´ac nhau c,ua to´an h.oc. D`ung nguyên l´y n`ay ngu,`o,i ta d˜ờ d`ang ch´u,ng minh tô`n t.ai m.ôt ¯dụ´i tu,.o,ng v´o,i t´ınh châ´t x´ac ¯d.inh. D.ang ¯do,n gi,an nhâ´t c´o thê,ph´at biê,u nhu, sau:

Nê´u c´o m v.ât ¯d.˘at v`ao n c´ai ng˘an k´eo v`a m > n th`ı c´o ´ıt nhâ´t m.ôt ng˘an k´eo ch´u,a ´ıt nhâ´t hai v.ât.

Tuy r`˘ang v´o,i nguyên l´y n`ay ngu,`o,i ta ch,ı ch´u,ng minh ¯du,.o,c s.u, tô`n t.ai m`a không ¯du,a ra ¯du,.o,c phu,o,ng ph´ap t`ım ¯du,.o,c v.ât c.u thê,, nhu,ng trong th.u,c tê´nhiê`u b`ai to´an ta ch,ı câ`n ch,ı ra s.u, tô`n t.ai l`a ¯d,u rô`i.

Nguyên l´y éirichlờ l`a m.ôt ¯d.inh l´y vê`t.âp h.o,p h˜u,u h.an. Ph´at biê,u ch´ınh x´ac nguyên l´y n`ay nhu, sau:

Cho A v`a B l`a hai t.âp h.o,p không r˜ông c´o sô´ phâ`n t ,u, h˜u,u h.an, m`a sô´lu,.o,ng phâ`n t ,u, c ,ua A l´o,n ho,n sô´lu,.o,ng phâ`n t ,u, c ,ua B. Nê´u v´o,i m.ôt qui t´˘ac n`ao ¯dâ´y, m˜ôi phâ`n t ,u, c ,ua A cho tu,o,ng ´u,ng v´o,i m.ôt phâ`n t ,u, B, th`ı tô`n t.ai hai phâ`n t ,u, kh´ac nhau c ,ua A m`a ch´ung tu,o,ng ´u,ng v´o,i c`ung m.ôt phâ`n t ,u, c ,ua B.

éờ,d˜ờ hiê,u ta c´u, cho r`˘ang c´ac phâ`n t,u, c,ua t.âp B l`a ăNh˜u,ng ng˘an