Chuyên đề hệ phương trình bồi dưỡng học sinh giỏi THCS

THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC

2

CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THCS

Chủ đề 1. Các hệ phƣơng trình cơ bản 3

1. Hệ phƣơng trình đối xứng loại I 3

2. Hệ phƣơng trình đối xứng loại II 5

3. Hệ phƣơng trình quy về đẳng cấp 8

Chủ đề 2. Một số kĩ thuật giải hệ phƣơng trình 12

1. Kĩ thuật thế 12

Dạng 1: Rút một ẩn theo ẩn kia từ phƣơng trình n|y thế v|o phƣơng trình kia 12

Dạng 2: Thế một biểu thức v|o phƣơng trình còn lại 13

Dạng 3:Thế hằng số từ phƣơng trình n|y v|o phƣơng trình kia 15

2. Kĩ thuật phân tích thành nhân tử 17

3. Kĩ thuật cộng, trừ, nhân hai vế của hệ phƣơng trình 22

Dạng 1: Cộng, trừ đại số để tạo ra các tổng bình phƣơng 22

Dạng 2: Cộng, trừ hai vế để đƣa về phƣơng trình một ẩn 23

Dạng 3: Cộng, trừ đại số để đƣa về phƣơng trình tích 24

Dạng 4: Các bài toán không mẫu mực giải bằng cộng, trừ, nhân hai vế của hệ 26

4. Kĩ thuật đặt ẩn phụ 28

Dạng 1: Dùng ẩn phụ đƣa về phƣơng trình bậc nhất hai ẩn 28

Dạng 2: Dùng ẩn phụ đƣa về hệ đối xứng loại I 30

Dạng 3: Dùng ẩn phụ đƣa về hệ đối xứng loại II 32

Dạng 4: Dùng ẩn phụ đƣa về phƣơng trình một ẩn 33

Dạng 5: Đặt ẩn phụ dạng tổng hiệu 34

5. Kĩ thuật nhân liên hợp đối với phƣơng trình chứa căn thức 36

6. Kĩ thuật đánh giá trong giải hệ phƣơng trình 39

Dạng 1: Dựa vào sự đồng biến nghịch biến các vế của hệ phƣơng trình 39

Dạng 2: Sử dụng bất c{c đẳng thức cổ điển để đ{nh gi{ 40

Dạng 3: Sử dụng điều kiện của nghiệm của hệ phƣơng trình 44

6. Kĩ hệ số bất định để giải hệ phƣơng trình 45

Chủ đề 3. Hệ phƣơng trình bậc ba ẩn 52

Dạng 1: Hệ hai phƣơng trình ba ẩn 52

THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC

3

Dạng 2: Hệ ba phƣơng trình ba ẩn 53

Chủ đề 4. Hệ phƣơng trình có chứa tham số 57

Dạng 1: Biện luận về nghiệm của phƣơng trình 57

Dạng 2: Tim điều kiện của tham số để thỏa mãn một điều kiện cho trƣớc 60

Bài tập rèn luyện tổng hợp 64

Hƣớng dẫn giải 76

THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC

4

CHỦ ĐỀ 1: CÁC HỆ PHƢƠNG TRÌNH CƠ BẢN

I- HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI I

LÝ THUYẾT CHUNG:

Hệ đối xứng loại II là hệ có dạng:    

f x,y 0

g x,y 0

    

Trong đó f(x, y) v| g(x, y) l| c{c đa thức đối xứng.

Nghĩa l|: f(x, y) = f(y, x) v| g(x, y) = g(y,x)

Hay hệ phƣơng trình đối xứng loại I là hệ phƣơng trình có vai trò x, y ho|n to|n

nhƣ nhau trong mỗi phƣơng trình, nếu ta ho{n đổi vị trí x và y trong hệ thì hệ

phƣơng trình không thay đổi. Ví dụ: 2 2 x y 2xy 21

2x 2y xy 7

       

Tính chất: Nếu hệ có nghiệm là 0 0 (x ;y ) thì do tính đối xứng, hệ cũng có nghiệm là

0 0 (y ;x ).

PHƢƠNG PHÁP GIẢI

Biến đổi c{c phƣơng trình của hệ đƣa về ẩn S và P mà: S = x + y, P = x.y. Giải đƣợc S và P . Khi đó x, y là nghiệm của phƣơng trình: X2 – S.X + P = 0 Một số hằng đẳng thức hay đƣợc đƣợc sử dụng:

 

 

 

   

     

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

3 3 3 3

2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2

x y x y 2xy S 2P

x xy y x y 3xy S 3P

x xy y x y xy S P

x y x y 3xy x y S 3PS

x y x y 2x y x y 2xy 2x y S 2P 2P

     

      

      

      

                    

2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

x x y y x y xy x y xy S 2P P

x y 1 1 S ; x y xy P

x y 1 1 S 2P ; x y x y P

y x y x S 2P y x xy P

         

   

    

    