Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Hình học 9

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI HÌNH HỌC 9

1 | THCS.TOANMATH.com

HH9-CHUYÊN ĐỀ 1. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

I. Hệ thức về cạnh và đường cao

KIẾN THỨC CƠ BẢN

Khi giải các bài toán liên quan đến cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ngoài việc nắm vững

các kiến thức về định lý Thales, về các trường hợp đồng dạng của tam giác, cần phải nắm vững các

kiến thức sau:

Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, kí hiệu:

  = = = = = = , , , , , AB c BC a CA b AH h HB c HC b . Ta có:

1) = + 2 2 2 a b c .

2)   = = 2 2 . ; . b a b c ac

3)  = 2 . h b c

4) = . . a h b c .

5) = + 2 2 2 1 1 1 h b c

.

6) =

2

2 b b a a

.

Chú ý: Diện tích tam giác vuông: = 1. . 2 S b c

Chứng minh:

+ Xét các tam giác vuông AHB và CHA, ta có: = BAH HCA (cùng phụ với HAC) suy ra

  ∽ AHB CHA (g.g) nên ta có: =  = 2 . AH CH AH BH CH HB HA

.

+ Xét các tam giác vuông BHA và BAC, ta có: ABC chung suy ra   BAH BAC ∽ (g.g) nên ta có:

=  = 2 . BH BA BA BH BC BA BC

.

+ Tương tự ta có:   ∽ AHC BAC (g.g) nên =  = 2 . AC BC CA CH CB HC AC

.

+ Ta có:

( ) + = =  =  =  = +

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 . . 2

. . ABC

BC AB AC AH BC AB AC S

AH AB AC AH AB AC AH AB AC

.

II. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

KIẾN THỨC CƠ BẢN

Cho tam giác ABC vuông tại A. Khi đó ta có các góc B, C là góc nhọn, đặt   = = , C B thì

  + =  90 .

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI HÌNH HỌC 9

THCS.TOANMATH.com | 2

Xét góc:  ta thấy: AB là cạnh đối của góc , AC gọi là cạnh kề của góc .

1. Các tỉ số lượng giác của góc nhọn  (hình) được định nghĩa như sau:

    = = = = sin ;cos ;tan ;cot AB AC AB AC BC BC AC AB

+ Nếu  là một góc nhọn thì:

          0 sin 1;0 cos 1;tan 0;cot 0

2. Với hai góc  , mà   + =  90 ,

Ta có:     = = sin cos ;cos sin ;

    = = tan cot ;cot tan

Nếu hai góc nhọn  và  có   = sin sin hoặc   = cos cos thì   = .

3.     + = = 2 2 sin cos 1; .cot 1 tg g .

4. Với một số góc đặc biệt ta có: = = = = 1 2 sin30 cos60 ;sin45 cos45 2 2

= = = = = = = = 3 1 cos30 sin60 ;cot60 tan30 tan45 cot 45 1;cot30 tan60 3 2 3

.

Việc chứng minh các hệ thức khá đơn giản:

+ Ta có:   = = sin ,cos AB AB BC BC

suy ra   = cos sin . Tương tự cho các trường hợp còn lại.

+ Ta có:

          + = =  = =  + = =        

2 2 2 2 2 2 2 2

2 sin ,cos sin cos 1 AB AC BC

III. Một số ví dụ tiêu biểu

Ví dụ 1.

Cho tam giác ABC vuông tại A, dựng đường cao AH. Tính độ dài các cạnh còn lại của tam giác ABC

trong mỗi trường hợp sau:

a, = = 3 , 2 a AB a AH . b, = = 1 2 , 4 BC a HB BC .

c, = = 3 , 2 AB a CH a . D, = = 3 3, 2 a CA a AH .

e, = = 3 , 5 4 AB BC a AC

.

Giải:

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI HÌNH HỌC 9

3 | THCS.TOANMATH.com

a, Áp dụng công thức: = + 2 2 2 1 1 1 AH AB AC

Ta có: = +  =  = 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 3 3 3 4

AC a a AC AC a a

.

b, Ta có tam giác OAB cân tại O, = 2 BC BO

Mà =  =  4 BC BH BH BO OAB cũng cân tại B. Hay

OAB là tam giác đều. Suy ra = = − = − = 2 2 2 2 2 2 , 4 3 AB a AC BC AB a a a nên = 3 AC a .

c, Áp dụng công thức: =  = + 2 2 . ( ) BA BH BC BA BH BH HC hay = + 2 2 3 . 2 a BH a BH

( )( )  + − =  − + =  = 2 2 2 3 . 2 0 2 2 0 2 a BH a BH a BH a BH a BH . Vậy =  = 2 3 BC a AC a .

d, Áp dụng công thức: = + 2 2 2 1 1 1 AH AB AC

Ta có: = +  =  =  = + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 4 3 3 4

AB a BC AB AC a AB a AB a a

. Hay = 2 BC a.

e, Đặt = = 3 , 4 AB k AC k với   + = + = = = 2 2 2 2 2 2 2 0 (3 ) (4 ) 25 25 k AB AC k k k BC a suy ra

=  = = 3 , 4 k a AB a AC a .

Ví dụ 2.

Cho tam giác vuông ABC có =  = 90 , 2 A BC a, gọi O là trung điểm của BC. Dựng ⊥ AH BC

a, Khi =  30 ACB . Tính độ dài các cạnh còn lại của tam giác.

b, Khi =  30 ACB . Gọi M là trung điểm của AC. Tính độ dài BM.

c. Khi =  30 ACB . Các đoạn thẳng AO, BM cắt nhau ở điểm G. Tính độ dài GC.

d. Giả sử điểm A thay đổi sao cho =  = 90 , 2 BAC BC a . Tam giác ABC phải thoả mãn điều kiện gì

để diện tích tam giác AHO lớn nhất?

e. Giả sử CG …