Một kỹ năng khi sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình - hệ phương trình

1

Số 557 (11 -2023)

Một điều quan trọng giúp chúng ta giải được một phương trình (PT) hay hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ đó là phát hiện được các mối liên hệ giữa các ẩn với nhau. Mối liên hệ này gồm có: • Mối liên hệ giữa các ẩn mới. • Mối liên hệ giữa các ẩn cũ. • Mối liên hệ giữa các ẩn mới với các ẩn cũ. Mối liên hệ giữa các ẩn được thể hiện dưới dạng các đẳng thức hoặc bất đẳng thức.Sau đây là một số thí dụ.

Thí dụ 1.Giải phương trình:

5 5 2 41 ( 1) ( 1) 1 . 4 2

x x x x − − + − − =

Lời giải. Điều kiện: 1. x ≥ Ta có:

2 2 2 1 x x − − 1 2 ( 1)( 1) 1 x x x x = + − + − + −

= 2 ( 1 1) x x + − − 1 1 x x = + − −

1 1. x x = + − − Do đó PT đã cho tương đương với

5 5 4( 1 1) 41 ( 1) ( 1) (1). x x x x + − − = − − +

Đặt 1 0, x a + = > 1 0. x b − = ≥

Từ cách đặt ta phát hiện ra mối liên hệ sau:

2 2 2. a b − =

Suy ra: 2 2 2 ( ) 4 a b − = (2). Khi đó PT(1) có

dạng: 5 5 4( ) 41 (3). a b b a − = −

Nhân theo vế (2) và (3) ta được:

2 2 2 5 5 ( ) ( ) 41 a b a b b a − − = −

5 4 3 2 2 3 4 5 2 2 2 42 0 a a b a b a b ab b ⇔ − − + + − =

4 3 2 2 3 4 ( 2 )(2 3 4 10 21 ) 0 a b a a b a b ab b ⇔ − + + + + =

4 3 2 2 3 4 2 . 2 3 4 10 21 0 (4)

a b

a a b a b ab b

=  ⇔ + + + + = 

Vì 0, 0 a b > ≥ nên VT(4) 0. > Suy ra (4) vô

nghiệm.

Với 2 a b = ⇒ 1 2 1 x x + = −

⇔ 5 1 4( 1) . 3 x x x + = − ⇔ =

Thử lại ta thấy 5 3 x = là nghiệm PT đã cho.

Vậy PT đã cho có một nghiệm 5. 3 x =

Thí dụ 2.Giải phương trình:

2 4 1 1 ( 1) 2 x x x x + = + − + (*).

Lời giải. Điều kiện:

3 4 3 2 2 0 ( 2) 0 . 0

x x x x x x

≤− + ≥ ⇔ + ≥ ⇔≥ 

• Với 3 2 x ≤− thì 1 0 x −< ⇒VT(*) > 1 > VP(*).

• Dễ thấy 0 x = là một nghiệm của PT(*).

• Xét 0. x > Đặt 2 4 1 1; 2 0. a x b x x = + ≥ = + >

Ta có mối liên hệ sau:

2 2 4 2 2 1 a b x x x + = + + + (1). Từ PT đã cho có: 1 ( 1) . a x b = + − Thay vào (1) ta

được: ( ) 2 2 4 2 1 1 2 1 x b b x x x + − + = + + +    

2 2 4 2 ( 2 2) (2 2) ( 2 ) 0 x x b x b x x x ⇔ − + + − − + + =

2 2 3 2 ( 2 2) (2 2) ( 1)( 2 ) 0 x x b x b x x x x ⇔ − + + − − + − + =

2 3 2 ( 1)[( 2 2) 2 ] 0 b x x x b x x x ⇔ − − − + + − + =

⇔ 2

2

1

1 7 . ( ) 2 4 ( 1) 1

b x

x x b x

= +      − +      = −  − + 

Do 0 x > nên

2

2

1 7 ( ) 2 4 0 ( 1) 1

x x b x

  − +     = − < − + (loại) .

2

Số 557 (11 - 2023)

Với 1 b x = + thì 2 a x = khi đó có hệ:

2 2

4 1

2 1

x x

x x x

 + =  + = + 

2 4

4 2

1

1

2 ( 1)

x

x x

x x x

≥−   ⇔ + =   + = + 

4 2 2

1 1 1 5. 1 5 2 1 0 2

x x x x x x

≥−  ≥−  +  ⇔ ⇔ ⇔ =   + − −= =  

Vậy PT đã cho có 2 nghiệm 1 5 0; . 2 x x + = =

Thí dụ 3.Giải phương trình:

4 2 3 3 2 2 2 2 2 x x x x − − + + + −

4 2 3 3 3 3 2 2 2 2 2 x x x x = − − + + + − (1).

Lời giải.Đặt

4 2 3 3 0; 2 0. 2 2 2 2 x x x a x b − − + = ≥ + − = ≥

PT(1) trở thành 3 3 a b a b + = + (2). Ta có mối liên hệ sau:

( ) 2 4 2 2 2 1 1 1. a b x x x + = − + = − − ≤ Suy ra: 1 1 0 1 a b ≤− ≤− = và 1 1 0 1. b a ≤− ≤− = Với 0 1 a ≤ ≤ta thấy: 2(1 ) 0 a a − ≥

6 6 3 2 3 2 a a a a ⇒ ≤ ⇒ ≤ 3 a a ⇒ ≤ (3). Đẳng thức xảy ra 0; 1. a a ⇔ = = Tương tự

3 b b ≤ (4).Đẳng thức xảy ra 0; 1. b b ⇔ = = Cộng vế với vế (3),(4) ta được:

3 3 . a b a b + ≤ + Do vậy(2) xảy ra khi 0 b = hoặc 1. b =

• Khi 0 b = có: 2 1 3 2 0 . 3 2 2 4

x x x x

= −   + − = ⇔= 

• Khi 1 b = có: 2 3 2 1 2 2 x x + − =

2 1 5 2 0 . 5 2 2 4

x x x x

=   ⇔ + − = ⇔= − 

Thử lại ta thấy phương trình đã cho có đúng hai nghiệm 1. x = ±

Thí dụ 4.Giải hệ phương trình:

2 2 2

2 2 3 2 3

2 2

2 6 12 6 12 (1)

. (2 6 12) 3 ( 6 12) 1 (2) 2 3

x y x x x x y

x y x x x x y xy

 − − + + − + = +  − − + − − + =  +  Lời giải. Ta có 2 2 6 12 ( 3) 3 0 x x x − + = − + > nên

VT(1) > 0,suy ra 0. x y + >

Đặt 2 2 2 6 12 0; x y x a − − + = ≥

2 6 12 0. x x b − + = > Từ cách đặt ta có mối liên hệ sau:

2 2 2 2. a b x y − = −

Kết hợp với PT(1) ta có: 2 2 2 2 a b x y

a b x y

+ = +   − = − 

( )( ) ( )( )

a b x y

a b a b x y x y

+ = +  ⇔ + − = + − 

a b x y

a b x y

+ = +  ⇔− = − 

0

0

a x

b y

= ≥  ⇔= > 

(*).

Thay vào PT(2) …