Lý thuyết, các dạng toán và bài tập phân thức đại số

Chương II

PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

BÀI 1. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1.Định nghĩa.

Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng Α Β , trong đó

A, B là những đa thức và B khác 0. A được gọi là tử thức (hay tử); B được gọi là mẫu thức (hay mẫu).

• Mỗi đa thức cũng được coi như một phân thức với mẫu thức bằng 1. 2. Hai phân thức bằng nhau.

A C B D = nếu AD = BC.

B. CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1. CHỨNG MINH HAI PHÂN THỨC BẰNG NHAU Phương pháp giải

Để chứng minh A C B D = ta chứng minh AD = BC.

Ví dụ 1. (Bài 1, trang 36 SGK) Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau , chứng tỏ rằng:

5 20 ) 7 28 y xy a x = ; 3 ( 5) 3 ) 2( 5) 2 x x x b x + = + ;

2 2 ( 2)( 1) ) 1 1 x x x c x x + + + = − − ;

2 2 2 3 2 ) 1 1 x x x x d x x − − − + = + − ;

3

2 8 ) 2 2 4 x e x x x + = + − + ;

Giải

a) Ta có  5 .28 7.20 y x xy nên 5 20 7 28 y xy x = ;

b) Vì        2.3 5 3 .2 5 x x x x nên 3 ( 5) 3 2( 5) 2 x x x x + = + ;

c) Ta có              2 2 1 2 1 1 x x x x x nên 2 2 ( 2)( 1) 1 1 x x x x x + + + = − − ;

d) Ta có:         2 3 2 2 1 2 2 x x x x x x ;

         2 3 2 1 3 2 2 2 x x x x x x .

Do đó             2 2 1 3 2 2 1 x x x x x x suy ra:

2 2 2 3 2 1 1 x x x x x x − − − + = + −

e) Vì        3 2 8 2 2 4 x x x x nên

3

2 8 2 2 4 x x x x + = + − + ;

Ví dụ 2. (Bài 2, trang 36 SGK) Ba phân thức sau có bằng nhau không:

2

2 2 3 x x x x − − + ; 3 x x − ;

2

2 4 3 x x x x − + − .

Giải

Ta có:

2 2 2 3 1 2 2 ( 1)( 1) 2( 1) x x x x x x x − − = −− − = − + − +

( 1)( 3) x x = + − .

2 ( 1); x x x x + = +

2 2 4 3 1 4 4 ( 1)( 1) 4( 1) x x x x x x x − + = −− + = − + − − ( 1)( 3); x x = − −

2 ( 1) x x x x − = − .

Ba phân thức trở thành:

( 1)( 3) ( 1) x x x x + − + ; 3 x x − ; ( 1)( 3) ( 1) x x x x − − − .

Vì ( 1)( 3) x ( 3)( 1) x x x x x + − = − + nên ( 1)( 3) 3 ( 1) x x x x x x + − − = +

Và            3 1 1 3 x x x x x x nên 3 x x − = ( 1)( 3) ( 1) x x x x − − − ;

Vậy ba phân thức đã cho bằng nhau. Ví dụ 3. (Bài 3, trang 36 SGK)

Cho ba đa thức: 2 4 x x − ,

2 4, x + 2 4 x x + . Hãy chọn một đa thức rồi điền vào

chỗ trống trong đẳng thức dưới đây:

2 ... 16 4 x x x = − − Giải

Ta có

2 16 ( 4)( 4) x x x − = − + . Gọi chỗ trống là đa thức A, ta có:

         4 4 4 . A x x x x

Vậy       2 4 4 A x x x x .

Dạng 2. TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT (GTNN), GIÁ TRỊ LỚN NHẤT (GTLN) CỦA PHÂN THỨC Phương pháp giải

• T = a + [f(x)]2 ≥?: Giá trị nhỏ nhất của T bằng a khi f(x) = 0. • T = b – [f(x)]2 ≤?: Giá trị lớn nhất của T bằng b khi f(x) = 0.

Nếu a > 0, T > 0 thì a T nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) khi T lớn nhất (hoặc nhỏ nhất).

Ví dụ 4. a) Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức: 2 1

14 3 x − +

b) Tìm giá trị lớn nhất của phân thức:

2 4 4 15 x x − +

2 4 4 15 x x − + Giải

a) Vì mẫu thức là 14 > 0 nên phân thức 2 1

14 3 x − + có GTNN khi 3 2 1 x + − có GTNN.

Vì nên 2 1 0 x − ≥ nên 3 2 1 3 x + − ≥ , suy ra 3 2 1 3 x + − ≥ có GTNN bằng 3 khi 2x – 1

= 0, tức là 1 2 x = . Khi đó GTNN của phân thức bằng 3 14 .

b) Mẫu thức dương nên phân thức có GTLN khi 2 4 4 x x − + có GTLN. Ta có 2 4 4 x x − + = 2 1 (2 1) x − − . Vì 2 (2 1) 0 x − − ≤ nên 2 1 (2 1) 1 x − − ≤.

GTLN của phân thức bằng 1 15 khi 1 2 x = .

Ví dụ 5. Tìm GTLN của các phân thức:

a) 2 5 2 2 x x + + b) 3 2 2 5 x + −

Giải

a) Ta có tử thức là 5 > 0 và mẫu thức là:

( ) 2 2 2 2 2 ( 2 1) 1 1 1 0 x x x x x + + = + + + = + + >

nên phân thức có GTLN khi ( ) 2 1 1 x + + có GTNN.

Vì ( ) 2 1 0 x + > nên ( ) 2 1 1 1 x + + > có GTNN bằng 1 khi x = – 1 . Vậy GTLN của

2 5 2 2 x x + + bằng 5 khi x = - 1.

b) GTLN của phân thức 3 2 2 5 x + − bằng 3 2 khi 5 2 x = .

C. LUYỆN TẬP

1. (Dạng 1) Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau để chứng minh các đẳng thức sau:

3 4 4

3 5 ) 7 35 xy x y a x y = ;

2

2 ( 3) ) ( 3) 3 x x x b x x x + = + + ;

2

2 2 4 4 ) 2 4 x x x c x x − − + = + − ;

3 2 9 3 ) 15 5 5 x x x x d x − − − = −

2. (Dạng 1) Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, hãy tìm đa …