Chuyên đề bất đẳng thức bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6 - 7

GV: Ngô Thế Hoàng_ THCS Hợp Đức 1

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC

DẠNG 1: TỔNG LŨY THỪA

Phương pháp:

So sánh các số hạng trong tổng với các số hạng trong tổng liên tiếp để tìm mối quan hệ, Nếu muốn chứng minh lớn hơn 1 giá trị k nào đó, ta cần so sánh với số hạng có mẫu lớn hơn, và ngược lại

Bài 1: Chứng minh rằng: 2 2 2 2 1 1 1 1 ... 1 2 3 4 100 A = + + + + 

HD:

Ta thấy bài toán có dạng tổng các lũy thừa bậc hai, nên ta sẽ phân tích tổng A như sau:

1 1 1 1 1 ... 2.2 3.3 4.4 99.99 100.100 A = + + + + +

Đến đây ta sẽ so sánh với phân số có mẫu nhỏ hơn, vì yêu cầu bài toán là chứng minh nhỏ hơn.

1 1 1 1 1 ... 1.2 2.3 3.4 98.99 99.100 A  + + + + + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 2 2 3 3 4 98 99 99 100           = − + − + − + + − + −                     1 1 1 1 100 A  − 

Bài 2: Chứng minh rằng: 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ... 6 5 6 7 100 4  + + + + 

HD:

Ở bài toán này, ta phải chứng minh hai chiều, chiều thứ nhất ta cần chứng minh:

2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ... 5 6 7 99 100 A = + + + + + và Chứng minh 1 6 A 

Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... ... 5.5 6.6 7.7 99.99 100.100 5.6 6.7 7.8 99.100 100.101 A = + + + + +  + + + + +

1 1 96 5 101 505 A  − = đến đây, ta sẽ so sánh 96 505 với 1 6 như sau:

Ta có: 96 96 1 505 576 6  = bằng cách ta nhân cảtử và mẫu của phân số 1 6 với 96 để được hai phân số

cùng tử rồi so sánh khi đó ta có: 96 96 1 505 567 6 A   = (1)

Chiều thứ hai, ta cần chứng minh: 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ... 5 6 7 99 100 4 A = + + + + + 

Ta làm tương tự như sau :

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... ... 5.5 6.6 7.7 99.99 100.100 4.5 5.6 6.7 98.99 99.100 A = + + + + +  + + + + +

=> 1 1 1 4 100 4 A  −  (2)

Từ (1) và (2) ta có : 1 1 6 4 A  

Bài 3: Chứng minh rằng: 2 2 2 2 1 1 1 1 3 ... 2 3 4 100 4 + + + + 

HD :

Ta biến đổi: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... ... 4 3.3 4.4 99.99 100.100 4 2.3 3.4 4.5 99.100 A = + + + + +  + + + + +

1 1 1 3 1 3 4 2 100 4 100 4 A  + − = − 

GV: Ngô Thế Hoàng_ THCS Hợp Đức 2

Bài 4: Chứng minh rằng: 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ... 2 4 6 100 2 A = + + + + 

HD :

Nhận thấy bài này là tổng cùng lũy thừa nhưng cơ số lại chẵn, nên ta sẽ đưa về tổng lũy thừa hai liên tiếp như sau :

2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 ... 2 2 3 4 50 4 1.2 2.3 3.4 49.50 A     = + + + + +  + + + + +        

=> 1 1 1 1 1 1 1 4 50 2 200 2 A    + − = −     

Bài 5: Chứng minh rằng: 2 3 100 1 2 3 100 ... 2 2 2 2 2 A = + + + + 

HD :

Nhận thấy bài này có dạng tổng lũy thừa cùng cơ số, nên ta sẽ thực hiện phép tính tổng A Việc tính chính xác được tổng A sẽ giảm bớt sự sai số, tuy nhiên không phải tổng nào cũng có thể tính được,

Ta tính tổng A như sau: 2 3 98 99 2 3 4 99 100 2 1 ... 2 2 2 2 2 A = + + + + + +

Sau đó lấy 2A trừ A theo vế và nhóm các phân số có cùng mẫu ta được :

2 3 99 100 3 1 1 1 100 ... 2 2 2 2 2 A = + + + + − , đặt 2 3 4 99 1 1 1 1 ... 2 2 2 2 B = + + + + và tính tổng B theo cách như trên ta

được : 99 1 1 2 2 B = − , thay vào A ta được : 99 100 3 1 1 100 2 2 2 2 2 A = + − − 

Bài 6: Chứng minh rằng: 2 3 100 1 2 3 100 3 ... 3 3 3 3 4 A = + + + + 

HD :

Tính tượng tự như bài 5, ta có: 2 3 99 100 1 1 1 1 100 2 1 ... 3 3 3 9 3 A = + + + + + − ,

Đặt 2 3 99 1 1 1 1 ... 3 3 3 3 B = + + + + , và tính B rồi thay vào tổng A ta được

99 99 100 1 1 1 1 100 1 3 3 2 1 2 1 2 2.3 2 2.3 3 2 2 4 B A A A = − = = + − − = + = = 

Bài 7: Chứng minh rằng: 2 2 2 2 1 1 1 1 ... 1 2 3 4 A n = + + + + 

HD :

Ta có : ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 .... ... 1 1 2.2 3.3 4.4 . 1.2 2.3 3.4 1 A n n n n n = + + + +  + + + + = −  −

Bài 8: Chứng minh rằng: 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ... 4 6 8 (2 ) 4 A n = + + + + 

HD :

Ta có : ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... ... 1 2 2 3 4 4 1.2 2.3 1 4 A n n n n

      = + + + +  + + + = −         −      

1 1 1 4 4 4 n = − 

Bài 9: So sánh 2 2 2 2 1 1 1 1 ... 2 4 6 (2 ) A n = + + + + với 1

2

HD :

2 2 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 1 2 2 2 4 2 4 2 A n n n     = + + + +  + − = −         

Bài 10: Chứng minh rằng với số tự nhiên …