Chuyên đề hình học bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7

GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 1

I

M

A

B C

N

E

D

CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC 7

Bài 1: Cho Tam giác ABC nhọn, AH là đường cao, về phía ngoài của tam giác vẽ các ABE vuông cân ở B và ACF vuông cân tại C, Trên tia đối của tia AH, lấy điểm I sao cho AI=BC. CMR: a, ABI= BEC b, BI = CE và BI vuông góc với CE c, Ba đường thẳng AH, CE, BF cắt nhau tại 1 điểm Bài làm : a, Ta có :

0 90 ABC EBC = + = Và , ( . . ) AB BE AI BC ABI BEC c g c = = = =  b, Theo câu a ta có :

, ABI BEC BI EC ECB BIA  =  = = =

hay ECB BIH = , Gọi M là giao điểm của của CE và BI, Ta có :

0 90 MBC MCB BIH IBH + = + = =>CE BI ⊥ c, Chứng minh tương tự: BF AC ⊥ , Trong BIC  có AH, CE,BF là đường cao Nên đồng quy tại 1 điểm. Bài 2: Cho ABC có ba góc nhọn, trung tuyến AM, trên nửa mặt phẳng chứa điểm C bờ là đường thẳng AB, vẽ AE vuông góc với AB và AE=AB, trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa điểm B vẽ AD vuông góc với AC và AD=AC a, CMR: BD=CE b, Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN=MA, CMR : ADE= CAN

c, Gọi I là giao của DE và AM, CMR:

2 2

2 2 1 AD IE DI AE + = +

Bài làm: a, Chứng minh ( ) . . ABD AEC c g c  = 

=> BD=EC b, Chứng minh ( ) . . CMN BMA c g c  = 

=>CN=AB và ABC NCM = , có: 0 0 90 90 DAE DAC BAE BAC BAC = + − = + − = 0 180 BAC − (1) Và 0 180 ACN ACM MCN ACB ABC BAC = + = + = − (2) Từ (1) và (2) ta có:

DAE ACN = CM : ( ) . . ADE CAN c g c  = 

c, ( ) ADE CAN cmt ADE CAN  =  = =

mà 0 0 90 90 DAN CAN DAN ADE + = = + = Hay 0 90 DAI ADI AI DE + = = ⊥ Áp dụng định lý py-ta-go cho AID  và AIE  có:

2 2 2 2 2 2 2 2 AD DI AE EI AD EI AE DI − = − = + = +

2 2

2 2 1 AD IE DI AE + = = +

M

A

B C

I

E

F

H

( ) 0 0 0 180 180 90 IAB BAH ABC = − = − −

GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 2

Bài 3: Cho ABC, trung tuyến AM, vẽ ra ngoài tam giác này các tam giác vuông cân ở A là ABD và

ACE a, Trên tia đối của tia MA lấy điểm F sao cho MF=AM, CMR: ABF DAE = b, CMR: 2. DE AM =

Bài làm:

a, Cm: ( ) . . / / AMC FMB c g c CAM BFM AC BF  =  = = =

Do đó: 0 180 ABF BAC + = (1) Và 0 180 DAE BAC + = , do 0 180 DAB EAC + = (2) Từ (1) và (2) ta có: ABF DAE = b, Chứng minh: ( ) . . ABF DAE c g c AF CE  =  = =

ta có: 2. 2. AF AE DE AM = = = Bài 4: Cho ABC có 0 120 A , Dừng bên ngoài các tam giác đều , ABD ACE  

a, Gọi là giao điểm của BE và CD, Tính BMC b, CMR: MA+MB=MD c, CMR: AMC BMC =

Bài làm : a, Ta có : ( ) . . ADC ABE c g c ADC ABE  =  = =

Gọi F là giao điểm của AB và CD Xét ADF  và BMF  có :

0 , 60 D B AFD BFM BMF FAD BMF = = = = = =

=> 0 120 BMC = b, Trên tia MD lấy điểm P sao cho BM=MP

=> BMP  đều=> 0 , 60 BP BM MBP = =

Kết hợp với ( ) 0 60 .g.c ABD MBA PBD PDB MBA c = = = = = 

=> AM DP = => AM MB DP PM DM + = + = c, Từ PBD MBA AMB DPB  =  = = , mà 0 0 120 120 BPD BMA = = = =>

0 120 AMC AMC BMC = = =

E

A

B C

D

F

M

F

M

A

B C

D

E

P

GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 3

M

K B C

A

D

E

P

Q

Bài 5: Cho ABC nhọn, trên nửa mp bờ AB không chứa C, dựng đoạn thẳng AD vuông góc với AB và AD= AB, trên nửa mp bờ AC không chứa B, dừng AE vuông góc AC và AE=AC, vẽ AH vuông góc với BC, đường thẳng HA cắt DE ở K, CMR: K là trung điểm của DE

Bài làm : Trên AK lấy điểm H sao cho AH=BC Ta có :

KAE ACH = Vì cùng phụ với góc HAC Nên ( ) . . EHA ABC c g c  = 

AB HE = = ( Hai cạnh tương ứng)

Và HEA BAC = ,

mà : 0 0 180 180 BAC DAE HEA DAE + = = + = Do đó : AD//HE Khi đó : ( ) . . KAD KHE g c g KD KE  =  = =

Bài 6: Cho ABC có góc A nhọn, về phía ngoài tam giác ABC vẽ BAD vuông cân tại A và CAE vuông cân tại A, CMR: a, DC=BE và DC vuông góc với BE b, 2 2 2 2 BD CE BC DE + = + c, Đường thẳng qua A và vuông góc với DE cắt BC tại K, CMR: K là trung điểm của BC

Bài làm: a, ABE ADC  =  =>DC=BE Tự chứng minh DC BE ⊥ b, ta có: 2 2 2 2 2 2 CE ME MC DB MD MB = + = = + 2 2 2 2 2 2 DE MD ME BC MB MC = + = = + => ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 BD CE MD MB ME MC + = + + +

=> ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 BC DE MB MC MD ME + = + + +

=> 2 2 2 2 BD CE BC DE + = + c, Trên AC lấy điểm P sao cho …