Tuyển tập đầy đủ các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7

TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 7

THCS.TOANMATH.com Trang 1

CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 7

Chương I

SỐ HỮU TỈ. SỐ THỰC

Chuyên đề 1. TẬP HỢP SỐ HỮU TỈ

A. Kiến thức cần nhớ

1. Số hữu tỉ

• Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số a b với , , 0 a b Z b .

• Tập hợp các số hữu tỉ được kí hiệu là Q.

2. Biểu diễn các số hữu tỉ trên trục số.

• Mọi số hữu tỉ đều có thể biểu diễn trên trục số.

• Trên trục số, điểm biểu diễn số hữu tỉ x được gọi là điểm x.

3. So sánh hai số hữu tỉ

• Để so sánh hai số hữu tỉ, ta viết chúng dưới dạng phân số rồi so sánh hai phân số đó.

• Số hữu tỉ lớn hơn 0 gọi là số hữu tỉ dương;

• Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 gọi là số hữu tỉ âm;

• Số hữu tỉ 0, không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm.

• Số hữu tỉ a b là số hữu tỉ dương nếu a và b cùng dấu, là số hữu tỉ âm nếu a, b khác dấu, bằng 0 nếu

a = 0.

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1: Điền các kí hiệu N, Z, Q vào ô trống cho hợp nghĩa (điền tất cả các khả năng có thể):

9 ; 2020 ; 9 205 ; 21 10

Giải

✓ Tìm cách giải. Khi điền vào ô trống, ta căn cứ vào định nghĩa tập hợp:

• 0;1;2;3;... N .

• ...; 3; 2; 1;0;1;2;3;... Z

• / ; , , 0 a Q x x a b Z b b

✓ Trình bày lời giải.

• 9 ; 9 Z Q

• 2020 ;2020 ;2020 N Z Q

• 9 205 Q

TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 7

THCS.TOANMATH.com Trang 2

• 21 10 Q

✓ Nhận xét. Chúng ta lưu ý rằng N Z Q , nếu không ý thứ nhất và ý thứ hai của ví dụ dễ bị sót.

Ví dụ 2: Cho số hữu tỉ 10 2020 a x . Với giá trị nào của a thì:

a) x là số dương;

b) x là số âm;

c) x không là số dương cũng không là số âm.

Giải

✓ Tìm cách giải. Khi xác định dấu của số hữu tỉ, ta lưu ý a

b là số hữu tỉ dương nếu a và b cùng dấu, là

số hữu tỉ âm nếu a, b khác dấu. Chú ý rằng 2020 0, ta có lời giải sau:

✓ Trình bày lời giải.

a) 10 0 10 2020 a x a và 2020 cùng dấu.

Mà 2020 0 nên 10 0 a suy ra 10 a . Vậy với 10 a thì x là số hữu tỉ dương.

b) 10 0 10 2020 a x a và 2020 khác dấu.

Mà 2020 0 nên 10 0 a suy ra 10 a . Vậy với 10 a thì x là số hữu tỉ âm.

c) x không là số dương cũng không là số âm tức là 0 x hay 10 0 2020 a suy ra 10 a .

Vậy với 10 a thì x không là số dương cũng không là số âm.

Ví dụ 3. So sánh các số hữu tỉ sau:

a) 25 35 x hay 444

777 y ; b) 1 2 5 x và 110

50 y ;

c) 17 20 x và 0,75 y .

Giải

✓ Tìm cách giải. Trước khi so sánh hai số hữu tỉ, chúng ta thường thực hiện:

• Đưa các số hữu tỉ về dạng phân số tối giản;

• Quy đồng mẫu số, chú ý để mẫu số dương;

• Sau đó so sánh hai phân số.

✓ Trình bày lời giải.

Rút gọn ta có:

a) 25 5 444 4 ; 35 7 777 7 x y nên x y

TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 7

THCS.TOANMATH.com Trang 3

b) 1 11 110 11 2 ; 5 5 50 5 x y nên x y

c) 17 20 x và 75 15 17 0,75 100 20 20 y nên x y

Ví dụ 4. Viết tập hợp các số nguyên n sao cho số hữu tỉ sau có giá trị là số nguyên.

a) 7

5 n ; b) 2 5 n

Giải

✓ Tìm cách giải. Số hữu tỉ a

b (với , , 0 a b Z b ) có giá trị là số nguyên khi và chỉ khi a chia hết cho b

hay b Ư(a). Từ đó chúng ta có lời giải sau.

✓ Trình bày lời giải.

a) 7 5 5 Z n n Ư(7); mà Ư(7) 1;7; 1; 7 suy ra bảng giá trị sau:

5 n 1 7 -1 -7

n 6 12 4 -2

Vậy với 6;12;4; 2 n thì 7

5 n có giá trị là số nguyên.

b) 2 2 5 2 5 5 n Z n n k (với k Z ) 5 2 n k .

Vậy với 5 2 n k ( k Z ) thì 2 5 n có giá trị là số nguyên.

Ví dụ 5. Tìm các số nguyên n để số hữu tỉ 21 10 n n có giá trị là số nguyên.

Giải

✓ Tìm cách giải. Đưa về ví dụ 4, bằng cách tách ra một số hạng nguyên.

✓ Trình bày lời giải.

21 21 10 10 31 10 10 n Z n n n n n

31 10 10 n n Ư(31) mà Ư(31) 1;31; 1; 31 .

Suy ra ta có bảng giá trị sau:

10 n 1 31 -1 -31

n -9 21 -11 -41

Với 9;21; 11; 41 n thì số hữu tỉ 21 10 n n có giá trị là một số nguyên.

Ví dụ 6. Chứng tỏ rằng số hữu tỉ 3 2 4 3 n x n là phân số tối giản, với mọi n N.