Chuyên đề quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác Toán 7

1

CHUYÊN ĐỀ 31: QUAN HỆ GIỮA GÓC VÀ CẠNH ĐỐI DIỆN TRONG TAM GIÁC

PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT.

I. Góc đối diện với cạnh lớn hơn trong một tam giác

Định lí 1:

“ Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn “.

VD: Cho ( ) , ABC AC AB   . Khi đó:

+ Cạnh AB là cạnh đối diện với góc C .

+ Cạnh AC là cạnh đối diện với góc B .

   AC AB B C

II. Cạnh đối diện với góc lớn hơn trong một tam giác

Định lí 2: “ Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn ”.

VD: Cho ( )   , ABC AC AB . Khi đó:

+ Góc C là góc đối diện với cạnh AB.

+ Góc B là góc đối diện với cạnh AC .

   B C AC AB

Chú ý:

+ Đối diện với cạnh là góc, mà đối diện với góc là cạnh.

+ Trong tam giác tù hoặc tam giác vuông thì góc tù và góc vuông là góc lớn nhất nên cạnh đối diện với góc vuông (cạnh huyền), cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất.

+ Định lí 1 và 2 chỉ đúng khi ta áp dụng trong 1 tam giác.

+ Trong tam giác cạnh nhỏ nhất đối điện với góc nhọn.

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI.

Dạng 1. So sánh các góc trong một tam giác

I. Phương pháp giải:

+ TH1: Nếu các góc cần so sánh nằm trong cùng một tam giác thì ta áp dụng định lí 1:

So sánh các cạnh đối diện với các góc đó.

+ TH2: Nếu các góc cần so sánh không cùng nằm trong cùng một tam giác

Thì ta dùng góc trung gian để so sánh

B

A

C

2

II. Bài toán.

Bài 1. So sánh các góc của ABC biết rằng: = = = 4 , 6 , 5 AB cm BC cm CA cm .

Lời giải:

ABC có     (4 5 6) AB AC BC    C B A (Định lí 1 – quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác).

Bài 2. So sánh các góc của EF D biết rằng: = = = 2 , 3cm 4 DE cm DF EF cm .

Lời giải:

EF D có     (2 3 4) DE DF EF    F E D (Định lí 1 – quan hệ giữa góc và cạnh đối diện

trong tam giác).

Bài 3. So sánh các góc của ABC biết rằng: = = = 2 2 , 11 , 3 AB cm BC cm CA cm .

Lời giải:

ABC có     (2 2 3 11) AB BC AC    C A B (Định lí 1 – quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác).

Bài 4. So sánh các góc của ABC biết độ dài các cạnh , , AB BC CA lần lượt tỉ lệ nghịch với

3,4,5 .

Lời giải:

ABC có: Độ dài các cạnh , , AB BC CA lần lượt tỉ lệ nghịch với 3,4,5.

 = = .3 .4 .5 AB BC CA

   AB BC AC

     ACB BAC ABC hay C A B (Định lý 1).

Bài 5. So sánh các góc của ABC biết độ dài các cạnh , , AB BC CA lần lượt tỉ lệ với3,4,5 .

Lời giải:

ABC có: Độ dài các cạnh , , AB BC CA lần lượt tỉ lệ với 3,4,5.

 = = 3 4 5 AB BC AC

   AB BC AC

     ACB BAC ABC hay C A B (Định lý 1)

Bài 6. Sử dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện để chứng minh định lí: Trong một tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.

Lời giải:

Cho ABC cân tại A nên =  = AB AC C B (Định lý 1)

Vậy trong một tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.

3

Bài 7. Sử dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện để chứng minh định lí: Trong một tam giác đều, ba góc bằng nhau.

Lời giải:

Cho ABC đều nên = =  = = AB AC BC C B A (Định lý 1)

Vậy trong một tam giác đều, ba góc bằng nhau.

Bài 8. Trong một tam giác, đối diện với cạnh nhỏ nhất là góc gì (nhọn, vuông, tù)? tại sao?

Lời giải: Trong một tam giác, đối diện với cạnh nhỏ nhất là góc nhỏ nhất. Góc nhỏ nhất của tam giác là góc nhọn (tam giác nào cũng có ít nhất một góc nhọn)

Bài 9. Cho tam giác ABC có  AB AC . So sánh hai góc ngoài tại các đỉnh ; B C

Lời giải:

Trước hết ta so sánh các góc trong tại hai đỉnh ; B C

Vì  AB AC nên  2 2 C B (Định lí 1)

Mà + = + =  1 2 1 2 180 B B C C (Tính chất hai góc kề bù)

Do đó  1 1 C B

Bài 10. Cho tam giác ABC có ABlà cạnh nhỏ nhất. Chứng minh rằng   60 C

Lời giải

Vì tam giác ABC có ABlà cạnh nhỏ nhất nên C là góc nhỏ nhất

Do đó   , C B C A

Suy ra  + + =    3 180 60 C C B A C