8 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 7 phần Đại số

Chuyên đề 1: Các dạng toán và phương pháp chứng minh chia hết 1

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 7

Chuyên đề 1: CÁC DẠNG TOÁN

VÀ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHIA HẾT

A. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

Định nghĩa: Cho hai số tự nhiên a và b, trong đó 0 b  . Ta nói a chia hết cho b nếu

tồn tại số tự nhiên q sao cho a bq  . Khi đó ta còn nói: a là bội của b, hoặc b là

ước của a .

Các tính chất chung

1) Bất cứ số nào khác 0 cũng chia hết cho chính nó

2) Tính chất bắc cầu: nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c.

3) Số 0 chia hết cho mọi số b khác 0

4) Bất cứ số nào cũng chia hết cho 1

5) Tính chất chia hết của một tổng và hiệu

Nếu a và b cùng chia hết cho m thì a b  chia hết cho m, a b  chia hết cho m.

Hệ quả: Nếu tổng của hai số chia hết cho m và một trong hai số ấy chia hết cho m

thì số còn lại cũng chia hết cho m.

6) Nếu một trong hai số a và b chia hết cho m, số kia không chia hết cho m thì

a b  không chia hết cho m, a b  không chia hết cho m

7) Tính chất chia hết của một tích

Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m

8) Nếu a chia hết cho m và b chia hết cho n thì a b chia hết cho . mn

Hệ quả: Nếu a chia hết cho b thì

na chia hết cho

nb

Một số dấu hiệu chia hết

Đặt 1 2 1 0 .... n n A a a a a a   với 1 2 1 0 ; ;.... ; ; n n a a a a a  là các chữ số. Khi đó ta có các dấu hiệu

chia hết như sau:

  0 0 2 2 0;2;4;6;8 A a a         0 1 1 3 .... 3. n n A a a a a         

1 0 4 4 A a a       0 0 5 5 0;5 . A a a      

2 1 0 8 8 A a a a       0 1 1 9 .... 9. n n A a a a a         

Chuyên đề 1: Các dạng toán và phương pháp chứng minh chia hết 2

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 7

    0 2 1 3 11 .... ... 11. A a a a a                1 0 25 25 A a a    

2 1 0 125 125 A a a a    

Các bài tập

Bài 1: Chứng minh rằng:

a) 11 ab ba   b) 9 ab ba   (a b  )

c) 7,11,13 abcabc 

Lời giải

a) Ta có: 10 10 1 11 11 11 ab ba a b b b b        

b) Ta có: (10 ) (10 ) 9 9 9 ab ba a b b a a b        

c) Ta có: .1001 .7.11.13 7,11,13 abcabc abc abc   

Bài 2: Chứng minh rằng:

a) ( 10)( 15) 2 n n    b) ( 1)( 2) 2,3 n n n   

c)

2 1 n n   không chia hết cho 4,2,5

Lời giải

a) Ta có: Nếu n là số lẻ thì 15 2 n  

Nếu n là số chẵn thì 10 2 n  , Như vậy với mọi n là số tự nhiên thì    10 15 2 n n   

b) Ta có: Vì    1 2 n n n   là 3 số tự nhiên liên tiếp nên sẽ có 1 số chia hết cho 2, 1

số chia hết cho 3

c) Ta có: ( 1) 1 n n   là 1 số lẻ nên không chia hết cho 4,2 và có chữ số tận cùng

khác 0 và 5

Bài 3: Chứng minh rằng:

a) ( 3)( 6) 2 n n    b) 2 6 n n   không chia hết cho 5

c) 37 aaabbb

Lời giải

Chuyên đề 1: Các dạng toán và phương pháp chứng minh chia hết 3

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 7

a) Ta có: Nếu n là số chẵn thì 6 2 n  

Nếu n lẻ thì 3 2 n  , Như vậy với mọi n là số tự nhiên thì    3 6 2 n n   

b) Ta có:   2 6 1 6 n n n n     , vì  1 n n  là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên chỉ

có chữ số tận cùng là: 0, 2, 6, do đó  1 6 n n   sẽ có tận cùng là 6, 8, 2 nên không

chia hết cho 5.

c) Ta có: 000 .11100 .111 .300.37 .3.37 aaabbb aaa bbb a b a b       chia hết cho 37

Bài 4: Chứng minh rằng:

a) aaa a  b) ( ) 2 ab a b  c) 99 abc cba  

Lời giải

a) Ta có : .111 .3.37 aaa a a   chia hết cho a và chia hết cho 37

b) Ta có: Vì ,a b là hai số tự nhiên nên ,a b có các TH sau:

TH1: ,a b cùng tính chẵn lẻ thì a b  là 1 số chẵn như vậy a b  chia hết cho 2

TH2: a b  khác tính chẵn lẻ thì 1 trong 2 số phải có 1 số chẵn khi đó số đó chia hết

cho 2

c) Ta có:     100 10 100 10 99 99 99 99 abc cba a b c c b a a c a c            

Bài 5:

Chứng minh rằng: 8. 9 ab ba  

Lời giải

Ta có:     8. 10 8 10 18 18 18 9 ab ba a b b a a b a b          

Bài 6:

Cho , a b . Chứng minh rằng: (4 ) 5 a b  ( 4 ) 5 a b  

Lời giải

Ta có             4 5 4 4 5 16 4 5 15 4 5 4 5 …