Chuyên đề ôn tập và bổ túc về số tự nhiên

Chuyên đề 1: TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Tập hợp. Tập hợp con

- Tập hợp là một khái niệm cơ bản của Toán học. Để kí hiệu một tập hợp, ta dung các chữ cái in hoa A, B, … còn để viết một tập hợp, ta có thể sử dụng một trong hai cách:

• Liệt kê các phần tử của tập hợp.

• Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.

- Một tập hợp có thể có một phần tử, nhiều phần tử,vô số phần tử nhưng cũng có thể không có phần tử nào. Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập rỗng, kí hiệu là ∅. Để minh họa một tập hợp cùng các phần tử của nó, người ta dùng biểu đồ Ven.

- Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B thì ta nói A là tập hợp con của B. kí hiệu: A ⊂ B.

- Hai tập hợp A và B gọi là bằng nhau nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B và ngược lại. Kí hiệu: A = B.

- Một số tính chất:

• Với mọi tập hợp A, ta có: ∅ ⊂ A và A ⊂ A.

• Nếu A ⊂ B và B ⊂ A thì A = B.

• Nếu A ⊂ B và B ⊂ C thì A ⊂ C ( tính chất bắc cầu).

2. Tập hợp các số tự nhiên

- Tập hợp các số tự nhiên được kí hiệu là N.

N = {0; 1; 2; 3; 4;…}

Tập hợp các số tự nhiên khác 0 kí hiệu là N*.

N* = {1; 2; 3; 4;…}

- Tia số tự nhiên:

9 8 7 6 5 4 3 0 1 2

1

CHUYEƹN ĐEቺ CHỌN LỌC TOAƵ N 6

ÔN TẬP VÀ BỔ TÚC VỀ SỐ TỰ NHIÊN

Mỗi số tự nhiên được biểu diễn bởi một điểm trên tia số. Điểm biểu diễn số tự nhiên a trên tia số gọi là điểm a.

- Để ghi số tự nhiên trong hệ thập phân, ta dùng 10 chữ số là: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.

Trong hệ La Mã, ta dùng bảy kí hiệu: I, V, X, L, C, D, M với giá trị tương ứng trong hệ thập phân lần lượt là: 1; 5; 10; 50; 100; 500; 1000.

- Thứ tự trong tập hợp số tự nhiên: Với hai số tự nhiên a và b bất kì, xảy ra một trong ba khả năng sau: a < b; a = b; a > b.

Nếu a < b thì trên tia số tự nhiên, điểm a nằm bên trái điểm b.

II. MỘT SỐ VÍ DỤ

Dạng 1. Viết tập hợp, tập hợp con và sử dụng các kí hiệu , , ∈∉⊂

Ví dụ 1: Cho hai tập hợp A = {1; 2; 4; 5; 7; 9} và B = {2; 3; 5; 6; 7}.

a) Viết tập hợp C gồm các phần tử thuộc tập hợp A mà không thuộc tập hợp B.

b)Viết tập hợp D gồm các phần tử thuộc tập hợp B mà không thuộc tập hợp A.

c) Viết tập hợp E gồm các phần tử thuộc cả hai tập hợp A và B.

d) Viết tập hợp G gồm các phần tử hoặc thuộc tập hợp A hoặc thuộc tập hợp B.

Giải

a) Ta thấy phần tử 1 ∈ A mà 1 ∉ B, do đó 1 ∈ C. Tương tự, ta cũng có: 4; 9 ∈ C

Vậy C = {1; 4; 9}

b) Làm tương tự câu a), ta có: D = {3; 6}

c) Ta thấy phần tử 2 vừa thuộc A, vừa thuộc B nên 2 ∈ E. Tương tự, ta có: 5; 7 ∈ E.

Vậy E = {2; 5; 7}.

d) Ta thấy phần tử 1 ∈ A nên 1∈ G; 3 ∈ B nên 3 ∈ G; …

Vậy G = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 9}

Nhận xét:

Tập hợp C gồm những phần tử thuộc tập hợp A, trừ những phần tử của A mà cũng thuộc B. Trên biểu đồ Ven, tập hợp C có minh họa là miền gạch chéo. Kí hiệu: C = A \ B (đọc là C là hiệu của A và B).

2

Tương tự, tập hợp D có minh họa là miền chấm D = B \ A (đọc là: D là hiệu của B và A).

Tập hợp E gồm những phần tử chung của hai tập hợp A và B. Trên biểu đồ Ven, E có minh họa là miền kẻ carô. Kí hiệu: E = A ∩ B (đọc là: E là giao của A và B).

Tập hợp G gồm những phần tử hoặc thuộc A, hoặc thuộc B nên có minh họa là cả hai vòng kín. Kí hiệu: G = A ∪ B (đọc là: G là hợp của A và B).

Ví dụ 2. Cho tập hợp A = {a, b, c}. Hỏi tập hợp A có tất cả bao nhiêu tập hợp con?

Giải

Tập hợp con của A không có phần tử nào là: ∅

Các tập hợp con của A có một phần tử là: {a}, {b}, {c}

Cấc tập hợp con của A có hai phần tử: {a, b}, {b, c}, {c, a}

Tập hợp con của A có ba phần tử là: {a, b, c}

Vậy A có tất cả tám tập hợp con.

Nhận xét:

Để tìm các tập hợp con của một tập hợp có n phần tử (n ∈ N), ta lần lượt tìm các tập hợp con có 0; 1; 2; 3; …; n phần tử của tập hợp đó.

Tập hợp A Các tập hợp con của A Số tập hợp con của A

∅

(n = 0)

∅ 1

{a}

(n = 1)

∅; {a}

2 = 2

{a, b}

(n = 2)

∅; {a}; {b}; {a, b}

4 = 2.2

{a, b, c}

(n = 3

∅; {a}; {b}; {c}; {a, b};

{b, c}; {c, a}; {a, b, c}

8 = 2.2.2

…

Từ đó ta rút ra kết luận sau:

- Tập hợp rỗng chỉ có một tập hợp con duy nhất là chính nó.

3