Chuyên đề số nguyên

Chuyên đề 1. TẬP HỢP CÁC SỐ NGUYÊN

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Kiến thức cơ bản

a) Tập hợp các số nguyên:

Tập hợp   ...; 3; 2; 1;0;1;2;3;...  gồm có số 0, các số 1; 2; 3; ... (số nguyên dương)

và các số -1; -2; -3; ... (số nguyên âm) được gọi là tập hợp các số nguyên, kí hiệu là Z.

Nhận xét: Mọi số tự nhiên đều là số nguyên hay   .

b) Trục số nguyên:

Điểm biểu diễn số nguyên a trên trục gọi là điểm a.

c) Số đối:

Trên trục số, hai điểm -2 và 2 cách đều điểm gốc 0 về hai phía. Ta nói -2 và 2 là hai số đối nhau. Số đối của a kí hiệu là –a.

d) Thứ tự trong Z:

Trên trục số, điểm a nằm bên trái điểm b thì a < b hay b > a.

Ta luôn có: Số nguyên âm < 0 < số nguyên dương.

Với hai số nguyên a, b bất kì ta luôn có hoặc a < b, hoặc a = b, hoặc a > b.

Nếu a lớn hơn b hoặc a = b thì ta viết a b  .

Với a, b, c , nếu a < b và b < c thì a < c ( tính chất bắc cầu).

e) Giá trị tuyệt đối của số nguyên a, kí hiệu là |a|, là khoảng cách từ điểm a đến gốc 0.

• Nếu a 0  thì a 0. 

• Nếu a 0  thì a a. 

• Nếu a 0  thì a a. 

Nhận xét: Với mọi a , ta có: | a | 0. 

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 ... ...

55

CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6: SỐ NGUYÊN

a a .  

2. Nâng cao

a) Khi ta nói x 2  hoặc x 3  thì ta viết x 2 x 3

    

còn khi nói x 1  và x  4 thì ta viết x 1

x 4

   

.

b) Với a 0  và x a  thì ta suy ra x = a hoặc x = -a.

c) Với a  và x a  thì suy ra x = a hoặc x = -a.

d) Nếu a b 0   thì a b  .

II. MỘT SỐ VÍ DỤ

Ví dụ 1. Cho tập hợp   A 3;2;0 1;5;7   .

a) Viết tập hợp B gồm các phần tử là số đối của các phần tử trong tập hợp A.

b) Viết tập C gồm các phần tử thuộc tập hợp A và là số dương.

c) Xác định quan hệ giữa các tập hợp A, C, N*, Z.

Giải

a) Số đối của số -3 là 3; của số 2 là -2; của số 0 là 0; ...

Vậy   B 3; 2;0;1; 5; 7 .   

b) Có 3 phần tử của tập hợp A là số nguyên dương, đó là: 2; 5; 7.

Vậy   C 2;5;7 . 

c) Ta có: C A   và C N*   .

Nhận xét: Số đối của –a là a. Vậy số đối của –a lại là a, tức là:   a a   .

N* là tập hợp các số nguyên dương. Ta kí hiệu: Z* là tập hợp các số nguyên khác 0, Z+ là tập hợp các số nguyên không âm (lớn hơn hoặc bằng 0), Z là tập hợp các số

56

nguyên không dương (nhỏ hơn hoặc bằng 0) * Z  là tập hợp các số nguyên dương.

Vậy * * Z N  .

Ví dụ 2. Khẳng định sau là đúng hay sai? Nếu a b  thì a b  .

Giải

Khẳng định “Nếu a b  thì a b  ” là sai.

Chẳng hạn: Với a = 3; b = -7 thì a > b, tuy nhiên, vì a 3; b 7 7     nên

a b . 

Nhận xét: Để chứng tỏ một khẳng định nào đó là sai, ta chỉ cần đưa ra một ví dụ cụ thể nào đó mà khẳng định sai. Ví dụ như thế được gọi là phản ví dụ.

Ví dụ 3: Tìm x, y , biết:

a) x 3 5   . b) x y 1   .

Giải

a) Ta có: |-3| = 3.

Do đó: x 3 5    x 5 – 3   x 2   x 2  hoặc x 2  .

Đôi khi ta viết gộp là: x 2  .

b) Vì x 0  và y 0  nên ta có hai trường hợp:

• x 1  và y 0  :

Ta có: x 1 x 1    hoặc x 1  .

y 0 y 0    .

• x 0  và y 1  :

Ta có: x 0 x 0   

|y| = 1 y = 1 hoặc y = -1.

Vậy bài toán trên có bốn đáp số sau đây:

57