Chuyên đề đoạn thẳng

Chuyên đề 1. ĐIỂM. ĐƯỜNG THẲNG

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Điểm A thuộc đường thẳng d kí hiệu là

A d ∈ Khi ba điểm A, B, C cùng thuộc một đường thẳng ta nói chúng thẳng hàng (h.1). 2. Điểm M không thuộc đường thẳng d kí hiệu là M d ∉ Khi ba điểm A, B, M không cùng thuộc bất kì đường thẳng nào ta nói chúng không thẳng hàng (h.2).

Hình 1

Hình 2 3. Trong ba điểm thẳng hàng có một điểm và chỉ một điểm nằm giữa hai điểm khác.

Trong hình 1, điểm B nằm giữa hai điểm A và C.

4. Có một đường thẳng và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm A và B.

Đường thẳng d trong hình 2 còn được gọi là đường thẳng AB. Ta còn đặt tên đường thẳng bằng hai chữ cái thường ví dụ đường thẳng xy.

B. MỘT SỐ VÍ DỤ

Ví dụ 1. Trên đường thẳng lấy 4 điểm A, B, C, D theo thứ tự đó và lấy điểm O a. ∉

a) Hãy kể tên các trường hợp một điểm nằm giữa hai điểm khác.

b) Có bao nhiêu nhóm ba điểm không thẳng hàng?

Giải (h.3)

a) Có 4 trường hợp một điểm nằm giữa hai điểm khác là:

- Điểm B nằm giữa A và C; - Điểm B nằm giữa A và D; - Điểm C nằm giữa A và D; - Điểm C nằm giữa B và D.

Hình 3 b) Có 6 nhóm ba điểm không thẳng hàng là:

(O; A; B) ; (O; A; C) ; (O; A; D) ; (O; B; C) ; (O; B; D) và (O; C; D).

C B A d

M

B A d

D C

O

B A a

89

CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6

ĐOẠN THẲNG

Lưu ý: Bạn dễ dàng nhận thấy điểm B nằm giữa hai điểm A và C nhưng có thể bạn bỏ sót trường hợp B nằm giữa A và D. Để khắc phục tình trạng trên bạn cần nhớ trong ba điểm thẳng hàng, có một và chỉ một điểm nằm giữa hai điểm còn lại.

Ví dụ 2. Cho trước một số điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Vẽ các đường thẳng đi qua các cặp điểm. Hỏi vẽ được bao nhiêu đường thẳng nếu số điểm cho trước là:

a) 4 điểm A, B, C, D ; b) 5 điểm A, B, C, D, E;

c) n điểm ( ) ; 2 n n ∈ ≥ 

Giải a) Với 4 điểm A, B, C, D cho trước trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng thì có thể vẽ được 6 đường thẳng là: AB, AC, AD, BC, BD và CD (h.4). b) Với 5 điểm A,B, C, D, E cho trước trong đó không có điểm nào thẳng hàng thì có thể vẽ được 10 đường thẳng là: AB, AC, AD, AE; BC, BD, BE; CD, CE và DE (h.5).

Hình 4

Hình 5

c) Chọn một trong số n điểm đã cho rồi nối điểm đó với 1 n − điểm còn lại ta được 1 n − đường thẳng. Làm như vậy với tất cả n điểm ta được ( )1 . n n − đường

thẳng. Nhưng do mỗi đường thẳng đã được tính hai lần (vì đường thẳng AB với

đường thẳng BA chỉ là một) do đó thực sự chỉ vẽ được ( ) . 1 2 n n − đường thẳng.

Lưu ý:

- Nếu n là số điểm cho trước trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng thì công thức

( ) . 1 2 n n − giúp ta tính được số đường thẳng đi qua các cặp điểm.

- Ngược lại, nếu n là số đường thẳng cho trước đôi một cắt nhau và không có ba,

bốn,... đường thẳng nào đồng quy thì công thức ( ) . 1 2 n n − giúp ta tính được số

giao điểm của tất cả các cặp đường thẳng.

D C

B A

E

D C

B

A

90

Ví dụ 3. Cho trước một số điểm trong đó có đúng ba điểm thẳng hàng. Vẽ các đường thẳng đi qua các cặp điểm. Hỏi vẽ được bao nhiêu đường thẳng nếu số điểm cho trước là:

a) 7 điểm; b) n điểm ( ) , 3 n n ∈ ≥  .

Giải

a) Nếu trong 7 điểm đã cho không có ba điểm nào thẳng hàng thì số đường thẳng vẽ

được là 7.6 21 2 = (đường thẳng).

Bây giờ xét đến ba điểm thẳng hàng, qua chúng chỉ vẽ được một đường thẳng. Nếu ba điểm này không thẳng hàng thì sẽ vẽ được ba đường thẳng.

Số đường thẳng giảm đi là : 3 1 2 −= (đường thẳng).

Vậy vẽ được tất cả 21 2 19 − = (đường thẳng).

b) Lập luận tương tự như câu a) ta được đáp số ( ) . 1 2 2 n n − = (đường thẳng).

Ví dụ 4. Cho trước n điểm trong đó có ba điểm thẳng hàng. Vẽ các đường thẳng đi qua các cặp điểm. Biết số đường thẳng vẽ được tất cả là 28, tìm số n ?

Giải

Ta có: ( ) . 1 28. 2 n n − =

Suy ra: ( ) . 1 56 8.7 n n − = =

Vì n và 1 n − là hai số tự nhiên liên tiếp nên 8. n =

C. BÀI TẬP

1.1. Xem hình 6 rồi cho biết:

- Có bao nhiêu nhóm ba điểm thẳng hàng? - Có bao nhiêu trường hợp một điểm nằm giữa hai điểm khác?

Hình 6 1.2. Vẽ sơ đồ trồng 9 cây thành 9 hàng, mỗi cây 3 hàng.

91