Chuyên đề ước chung và ước chung lớn nhất

Trang 1

BÀI 9: ƯỚC CHUNG - ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Hiểu được khái niệm ước chung, ước chung lớn nhất, và khái niệm các số nguyên tố cùng nhau.

+ Nhận biết được giao của hai tập hợp.

+ Nhận biết được quan hệ giữa ước chung và ước chung lớn nhất.

 Kĩ năng

+ Xác định được ước chung và ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số tự nhiên lớn hơn 1.

+ Biết cách tìm ước chung lớn nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố.

+ Tìm được tập hợp các ước chung của các số đã cho thông qua tìm ước chung lớn nhất của

chúng.

+ Vận dụng giải các dạng toán tìm ước chung và ước chung lớn nhất.

+ Chứng minh được hai hay nhiều số nguyên tố cùng nhau.

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Ước chung

Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả

các số đó.

   x ÖC ,a b nếu a x  và b x 

  ÖC , , x a b c nếu a x , b x  và c x 

Chú ý:

Giao của hai tập hợp là một tập hợp gồm các phần

tử chung của hai tập hợp đó.

Kí hiệu giao của hai tập hợp A và B là A B  .

2. Ước chung lớn nhất

Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn

nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.

Nhận xét:      , , ÖCLN a b ÖC a b

Chú ý: Số 1 chỉ có một ước là 1. Do đó với mọi số

tự nhiên a và b, ta có:

      ;1 1; ; ;1 1 ÖCLN a ÖCLN a b

3. Tìm ước chung lớn nhất bằng cách phân tích

các số ra thừa số nguyên tố

Muốn tìm ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số

Ví dụ.

   Ö 8 1;2;4;8

    Ö 12 1;2;3;4;6;12

Các số 1; 2 và 4 vừa là ước của 8, vừa là ước của

12 nên chúng được gọi là ước chung của 8 và 12.

       8,12 8 12 ÖC Ö Ö .

Số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của 8 và

12 là 4.

Suy ra   8;12 4 ÖCLN

  8,12 ÖC đều là ước của 4.

      7;1 1; 15;20;1 1 ÖCLN ÖCLN

Ví dụ. Tìm   8;12 ÖCLN

3 2 8 2 ;12 2 .3  

Trang 2

lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau:

Bước 1. Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

Bước 3. Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số

lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ước

chung lớn nhất phải tìm.

Chú ý:

+ Nếu các số đã cho không có thừa số nguyên tố

chung thì ƯCLN của chung bằng 1. Hai hay nhiều

số có ƯCLN bằng 1 gọi là các số nguyên tố cùng

nhau.

+ Trong các số đã cho, nếu số nhỏ nhất là ước của

các số còn lại thì ƯCLN của chúng chính là số nhỏ

nhất ấy.

4. Cách tìm ước chung thông qua tìm ƯCLN

Để tìm ước chung của các số đã cho, ta có thể tìm

các ước của ƯCLN của các số đó.

Thừa số nguyên tố chung là: 2, với số mũ nhỏ nhất

là 2.

   2 8;12 2 4 ÖCLN

  8;9 1 ÖCLN nên 8 và 9 là hai số nguyên tố

cùng nhau.

  4;8;12 4 ÖCLN vì 8 4,12 4  

Ví dụ. Tìm ước chung của 12 và 18.

  12;18 6 ÖCLN

   6 1;2;3;6 Ö

       12;18 6 1;2;3;6 ÖC Ö .

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

Trang 3

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Tìm ước chung

Phương pháp giải

Tìm ước chung của hai số a và b:

+ Bước 1.  .... Ö a

 .... Ö b

+ Bước 2.       , ÖC a b Ö a Ö b

Ví dụ:    4 1;2;4 Ö

   6 1;2;3;6 Ö

     4,6 1;2 ÖC .

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1.

a) Số 15 có là ước chung của 45 và 60 không? Vì sao?

b) Số 24 có là ước chung của 48 và 140 không? Vì sao?

Hướng dẫn giải

a) 15 là ước chung của 45 và 60 vì 45 và 60 cùng chia hết cho 15.