Chuyên đề bội chung và bội chung nhỏ nhất

Trang 1

BÀI 10. BỘI CHUNG - BỘI CHUNG NHỎ NHÁT

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Hiểu khái niệm bội chung, bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số.

+ Nhận biết được mối quan hệ giữa ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất.

 Kĩ năng

+ Biết cách tìm bội chung của hai hay nhiều số bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố.

+ Biết tìm bội chung thông qua tìm bội chung nhỏ nhất.

+ Tìm được bội chung nhỏ nhất của hai số khi biết ước chung lớn nhất của chúng.

+ Thực hành vận dụng giải một số dạng toán liên quan đến bội chung và bội chung nhỏ nhất.

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Bội chung

Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các

số đó.

  , x BC a b  nếu x a  và x b 

  , , x BC a b c  nếu x a , x b  và x c .

2. Bội chung nhỏ nhất

Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ

nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số

đó.

Nhận xét:

+ Tất cả các bội chung đều là bội của bội chung

nhỏ nhất.

    , , BCNN a b B a b  .

+ Mọi số tự nhiên đều là bội của 1. Do đó, với mọi

số tự nhiên a và b (khác 0), ta có:

  ;1 BCNN a a  ;     ; ;1 ; BCNN a b BCNN a b 

3. Tìm bội chung nhỏ nhất bằng cách phân tích

các số ra thừa số nguyên tố

Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta

thực hiện ba bước sau:

Bước 1. Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và

riêng.

Bước 3. Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số

Ví dụ.    4 0;4;8;12;16;20;24;... B  ;

   6 0;6;12;18;24;... B  .

Các số 0; 12 và 24 vừa là bội của 4, vừa là bội của

6 nên chúng được gọi là bội chung của 4 và 6.

Ví dụ. Tìm   4;6;10 BCNN .

Ta có: 2 4 2 ;6 2.3;10 2.5    .

Thừa số chung: 2 (số mũ lớn nhất là 2).

Thừa số riêng: 5; 3 (số mũ lớn nhất đều là 1).

 

2 4;6;10 2 .3.5 60 BCNN    .

Trang 2

lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN

phải tìm.

Chú ý:

+ Nếu các số đã cho từng đôi một nguyên tố cùng

nhau thì BCNN của chúng là tích của các số đó.

+ Trong các số đã cho, nếu số lớn nhất là bội của

các số còn lại thì BCNN của các số đã cho chính là

số lớn nhất ấy.

4. Cách tìm bội chung thông qua tìm BCNN

Để tìm bội chung của các số đã cho, ta có thể tìm

các bội của BCNN của các số đó.

Ví dụ. Tìm   4, 6, 10, 100 A x x x x x        .

Ta có   4;6;10 x BC  và 100 x  .

  4;6;10 60 BCNN  .

Lần lượt nhân 60 với 0; 1; 2 ta được

  0;60;120 A  .

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Tìm bội chung và bội chung nhỏ nhất của các số cho trước

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Tìm BCNN của:

Trang 3

a) 1; 12 và 27; b) 18; 24 và 30;

c) 5; 9 và 11; d) 12, 16 và 48.

Hướng dẫn gỉải

a) Ta có: 2 12 2 .3 

3 27 3 

Thừa số chung: 3 (với số mũ lớn nhất là 3).

Thừa số riêng: 2 (với số mũ lớn nhất là 2).

   

3 2 1,12,27 12,27 3 .2 108 BCNN BCNN     .

Chú ý: a) Mọi số tự nhiên đều là bội của 1, nên

    , ,1 , BCNN a b BCNN a b  .

b) Ta có: 2 18 2.3  ;

3 24 2 .3  ;

30 2.3.5  .

Thừa số chung: 2 (với số mũ lớn nhất là 3).

Thừa số riêng: 3 (với số mũ lớn nhất là 2) và 5 (với số mũ lớn nhất là 1).

 

3 2 18,24,30 2 .3 .5 360 BCNN    .

c) Ta có: 5 và 11 là haỉ số nguyên tố và 2 9 3 

 

2 5,9,11 5.3 .11 495 BCNN   

d) Dễ thấy 48 12  và 48 16  nên   12,16,48 48 BCNN   .

Chú ý:

c) 5; 9 và 11 đôi một nguyên tố cùng nhau nên   5,9,11 5.9.11 BCNN  .

d) Dựa vào nhận xét:

Nếu a b  và a c  thì   , , BCNN a b c a  .

Ví dụ 2. Tìm các bội chung nhỏ hơn 600 của 40 và 180.

Hướng dẫn giải

Cách 1. Tìm bội chung của 40 và 180 bằng cách lấy 180 nhân với 0; 1; 2; 3; ... cho đến khi được số chia

hết cho 40, ta được:

    40,180 0;360;720;....  BC .

Vậy các bội chung nhỏ hơn 600 của 40 và 180 là 0 và 360.

Cách 2.Ta có: 3 40 2 .5  ;

2 2 180 2 .3 .5  .

Thừa số chung: 2 (với số mũ lớn nhất là 3) và 5 (với số mũ lớn nhất là 1 ).

Thừa số riêng: 3 (với số mũ lớn nhất là 2).