Chuyên đề chứng minh chia hết bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6 - 7

1 GV:Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức

CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH CHIA HẾT

DẠNG 1: CHỨNG MINH CHIA HẾT Bài 1: Chứng minh rằng: a, 11 ab ba + b, 9 ab ba − (a > b) c, 7,11,13 abcabc HD:

a, Ta có : 10 10 1 11 11 11 ab ba a b b b b + = + + + = + b, Ta có : (10 ) (10 ) 9 9 9 ab ba a b b a a b − = + − + = −

c, Ta có : .1001 .7.11.13 7,11,13 abcabc abc abc = = Bài 2: Chứng minh rằng: a, ( 10)( 15) 2 n n + + b, ( 1)( 2) 2,3 n n n + + c, 2 1 n n + + không 4,2,5 HD:

a, Ta có: Nếu n là số lẻ thì 15 2 n +

Nếu n là số chẵn thì 10 2 n + , Như vậy với mọi n là số tự nhiên thì : ( )( ) 10 15 2 n n + +

b, Ta có: Vì ( )( ) 1 2 n n n + + là 3 số tự nhiên liên tiếp nên sẽ có 1 số chia hết cho 2,1 số chia hết cho 3

c, Ta có : ( 1) 1 n n + + là 1 số lẻ nên không cho 4,2 và có chữ số tận cùng khác 0 và 5 Bài 3: Chứng minh rằng: a, ( 3)( 6) 2 n n + + b, 2 6 n n + + không 5 c, 37 aaabbb HD:

a, Ta có: Nếu n là số chẵn thì 6 2 n +

Nếu n lẻ thì 3 2 n + , Như vậy với mọi n là số tự nhiên thì ( )( ) 3 6 2 n n + +

b, Ta có : ( ) 2 6 1 6 n n n n + + = + + , Vì ( )1 n n+ là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên chỉ có chữ số tận

cùng là : 0, 2, 6, Do đó : ( )1 6 n n+ + sẽ có tận cùng là 6, 8, 2 nên không 5

c, Ta có : 000 .11100 .111 .300.37 .3.37 aaabbb aaa bbb a b a b = + = + = + chia hết cho 37 Bài 4: Chứng minh rằng: a, aaa a ,37 b, ( ) 2 ab a b + c, 99 abc cba − HD:

a, Ta có : .111 .3.37 aaa a a = = chia hết cho a và chia hết cho 37 b, Ta có: Vì a, b là hai số tự nhiên nên a,b có các TH sau: TH1: a, b cùng tính chẵn lẻ=> (a+b) là 1 số chẵn nhưu vậy a+b chia hết cho 2 TH2: a, b khác tính chẵn lẻ thì 1 trong 2 số phải có 1 số chẵn khi đó số đó chia hết cho 2

c, Ta có: ( ) ( ) 100 10 100 10 99 99 99 99 abc cba a b c c b a a c a c − = + + − + + = − = −

Bài 5: CMR : 8. 9 ab ba + HD:

Ta có: ( ) ( ) 8. 10 8 10 18 18 18 9 ab ba a b b a a b a b + = + + + = + = +

Bài 6: Chứng minh rằng: ( ) 2, , ab a b a b N +  

Bài 7: Chứng minh rằng số có dạng : abcabc luôn chia hết cho 11 HD :

Ta có : ( ) ( ) ( ) 5 4 3 2 3 3 3 .10 .10 .10 .10 .10 10 1 .10 10 1 10 1 abcabc a b c b c a b c = + + + + = + + + + +

( )( ) ( ) 3 2 2 10 1 .10 .10 1001 .10 .10 11.91. 11 a b c a b c abc = + + + = + + =

Bài 8: Tìm n là số tự nhiên để: ( )( ) 5 6 6 A n n n = + +

HD:

2 GV:Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức

Ta có: ( ) 12 1 30 A n n n = + − + , Để ( ) 6 1 30 6 A n n n n = − +

Ta có: ( ) ( )   1 30 30 1;2;3;5;6;10;15;30 n n n n n U − = = =

Và ( ) ( )   1 6 1 3 1;3;6;10;15;30 n n n n n − = − =

Thử vào ta thấy   1;3;10;30 n thỏa mãn yêu cầu đầu bài

Bài 9: CMR : 2x+y 9 thì 5x+7y 9 HD:

Ta có : ( ) 2 9 7 2 9 14 7 9 9 5 7 9 5 7 9 x y x y x y x x y x y + = + = + = + + = +

Bài 10: Chứng minh rằng: a, Nếu 11 ab cd + thì 11 abcd b, Cho deg 7 abc− cmr deg 7 abc HD:

a, Ta có: .10 10 ( )10 ( )( ) 11 ab cd a b c d a c b d a c b d + = + + + = + + + = + + hay (a+c) – (b+d) 11

Khi đó 11 abcd vì có (a+c) - ( b+d) 11 b, Ta có: Ta có deg 1000 deg 1001 ( deg) abc abc abc abc = + = − − mà deg 7 abc− nên deg 7 abc Bài 11: Chứng minh rằng: a, CMR: 2. 67 ab cd abcd = → b, Cho 27 abc cmr 27 bca HD:

a, Ta có: Ta có 100 200 201 67 abcd ab cd cd cd cd = + = + = b, Ta có : Ta có 27 0 27 1000 0 27 999 0 27 27.37 27 abc abc a bc a a bc a bca = = + = + + = + Nên 27 bca Bài 12: Chứng minh rằng: a, deg 23,29 abc nếu 2.deg abc = b, Cmr nếu ( ) 11 ab cd eg + + thì deg 11 abc HD:

a, Ta có : deg 1000 deg 1000.2deg deg 2001deg deg.23.29.3 abc abc = + = + = =

b, Ta có : deg 10000. 100 9999 99 ( ) 11 abc ab cd eg ab cd ab cd eg = + + = + + + + Bài 13: Chứng minh rằng: a, Cho deg 37 abc+ cmr deg 37 abc b, Nếu 99 abcd thì 99 ab cd + HD:

a, Ta có : deg 1000 deg 999 ( deg) 37 abc abc abc abc = + = + +

b, Ta có : ( ) 100. 99. 99 9 abcd ab cd ab ab cd ab cd = + = + + = +

Bài 14: Chứng minh rằng:m, Nếu 101 abcd thì 101 ab cd − HD :

Ta có : ( ) 101 100. 101. 101. 101 abcd ab cd ab ab cd ab ab cd = + = − + = − − => 101 ab cd −

Bài 15: Chứng minh rằng: a, 2a - 5b+6c 17 nếu a-11b+3c 17 (a,b,c  Z) b, …