Đề học sinh giỏi tỉnh Toán THCS năm 2022 - 2023 sở GDĐT Thanh Hóa

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH HÓA

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2022 - 2023 MÔN THI: TOÁN - THCS Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

(Đề thi có 01 trang)

Câu I (4,0 điểm).

1 Cho biểu thức 2 1 9 14 1 3 2 3 2

  + = ⋅ + +   + + + +  

x x P x x x x

với 0 ≥ x .

Rút gọn biều thức P và tìm các giá trị của x để biểu thức P có giá trị là số tự nhiên.

2 Cho các số thực , , a b c thỏa mãn đồng thời 2 4 2 4 2 4 2 ; 2 ; 2 + = + = + = a b b c c a .

Tính giá trị biểu thức ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2022 = + + + − + + + B a b c a b c a b b c c a .

Câu II (4,0 điểm).

2. Giải phương trình 3 2 4 13 14 3 15 9 + − = − + x x x x .

3. Giải hệ phương trình

3 2

2 2 3 49 0 8 8 17

 + + =  − + = − 

x xy x xy y y x

.

Câu III (4,0 điểm).

1. Tìm tất cả các bộ số nguyên ( ) , , m p q thỏa mãn: 2 5 2 1 ⋅ + = m p q trong đó 0; , > m p q là hai số

nguyên tố.

2. Cho ,a b là hai số nguyên thỏa mãn a khác b và ( ) + ab a b chia hết cho 2 2 + + a ab b . Chứng

minh rằng 2 − > a b ab .

Câu IV (6,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R . Đường tròn tâm I đường kính

BC cắt các cạnh AB và AC lần lượt ở M và N . Các tia BN và CM cắt nhau tại H . Gọi K là giao

điềm của IH với MN . Qua I kẻ đường thẳng song song với MN cắt các đường thẳng CM và BN lần lượt ở E và Q .

1 Chứng minh ∆ANM đồng dạng với ∆ABC và   = BQI ECI .

2 Chứng minh 2 = IQIE IC và

2   =    

KN HN KM HM .

3 Gọi D la giao điểm của AH với BC . Chứng minh rằng

2 1 1 1 4 . 3( ) + + ≤ ⋅ ⋅ ⋅ − AD BN BN CM CM AD R OH

Câu V (2,0 điểm) Cho ba số , , 1 ≥ a b c thỏa mãn ( ) ( ) 16 4 81 24 + + + = + + + abc ab bc ca a b c . Tim giá trị

nhỏ nhất của biểu thức

( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1

1 1 1 = + + −+ −+ −+ Q a a a b b b c c c

------------- HẾT -------------- Họ và tên thí sinh:…………………………………………SBD……………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH HÓA

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC: 2022-2023

HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi: TOÁN – THCS (Hướng dẫn chấm có 06 trang)

Câu NỘI DUNG Điểm I 4,0 điểm

1. Cho biếu thức 2 1 9 14 1 3 2 3 2

  + = ⋅ + +   + + + +  

x x P x x x x

với 0 ≥ x .

Rút gọn biều thức P và tìm các giá trị của x để biếu thửc P có giá trị là số tự nhiên.

2,0

Điều kiện 0 ≥ x . Ta có:

( ) ( )( ) ( )( )

2 1 2 1 9 14 9 14 1 3 2 3 2 1 2 2 1

+   + + = ⋅ + + = +   + + + + + + + +  

x x x x x P x x x x x x x x

0,5

( )( )

( )( ) ( )( )

2 2 7 2 11 14 2 7

1 2 1 2 1

+ + + + + = = = + + + + +

x x x x x

x x x x x

Vậy 2 7

1

+ = +

x P x

với 0 ≥ x

0,5

Ta có ( ) 2 1 5 5 2 1 1

+ + = = + + +

x P x x

, vì 0 ≥ x nên 5 0 5 1 < ≤ + x

suy ra 2 7 < ≤ P

0,25

Do ∈ P  nên { } { } 5 5 5 5 3;4;5;6;7 1;2;3;4;5 1 5; ; ; ;1 2 3 4 1   ∈ ⇔ ∈ ⇔ + ∈  +   P x x

.

0,25

3 2 1 9 4 1 4; ; ; ;0 16; ; ; ;0 2 3 4 4 9 16     ⇔ ∈ ⇔ ∈         x x .

Kết hợp với điều kiện ta thấy 9 4 1 16; ; ; ;0 4 9 16   ∈    x là giá trị cần tìm.

0,25

Vậy để P có giá trị là số tự nhiên thì 9 4 1 16; ; ; ;0 4 9 16   ∈    x 0,25

2. Cho các số thực , , a b c thỏa mãn đồng thời: 2 4 2 4 2 4 2 , 2 , 2 + = + = + = a b b c c a .

Tính giá trị biểu thức ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2022 = + + + − + + + B a b c a b c a b b c c a . 2,0

Từ giả thiết ta suy ra:

( )( )

( )( )

( )( )

2 4 2 2

2 4 2 2

2 4 2 2

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

 + = −= − +  + = −= − +   + = −= − + 

a b b b

b c c c

c a a a

0,5

Nhân vế với vế 3 đằng thức trên với nhau ta được:

( )( )( ) ( )( )( )( )( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + = − − − + + + a b c b c a b c a

0,5

Do ( )( )( ) 2 2 2 1 1 1 0 + + + > a b c nên ( )( )( ) 2 2 2 1 1 1 1 − − − = b c a .

Khai triền ta được 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 − − − + + + −= b c a a b b c c a a b c

0,5